[Risolto] Equazioni

Determina due numeri consecutivi tali che la differenza tra un quarto del primo e un sesto del secondo, sia uguale alla differenza tra un ottavo del secondo e un decimo del primo. 

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Primo numero $=n;$

secondo numero $=n+1;$

equazione:

$\dfrac{1}{4}n-\dfrac{1}{6}(n+1) = \dfrac{1}{8}(n+1)-\dfrac{1}{10}n$

puoi semplificare dividendo per 2 tutti i denominatori:

$\dfrac{1}{2}n-\dfrac{1}{3}(n+1) = \dfrac{1}{4}(n+1)-\dfrac{1}{5}n$

minimo comune multiplo dei denominatori $mcm[2; 3; 4; 5]= 60$ quindi moltiplica tutto per 60:

$30n-20(n+1) = 15(n+1)-12n$

$30n-20n-20 = 15n+15-12n$

$10n-20 = 3n+15$

raggruppa a sinistra i valori con incognita e a destra i valori noti cambiando il segno quando passi l'uguale:

$10n-3n = 15+20$

$7n = 35$

dividi ambo le parti per 7 in modo da isolare l'incognita:

$\dfrac{\cancel7n}{\cancel7} = \dfrac{\cancel{35}^5}{\cancel7_1}$

$n= 5$

per cui i due numeri risultano:

primo numero $=n= 5;$

secondo numero $=n+1 = 5+1 = 6.$

\[\frac{x}{4} - \frac{x + 1}{6} = \frac{x + 1}{8} - \frac{x}{10} \implies \frac{x - 2}{12} = \frac{x + 5}{40} \implies\]

\[120 \cdot \frac{x - 2}{12} = \frac{x + 5}{40} \cdot 120 \implies 10x - 20 = 3x + 15 \implies x = 5 \mid x + 1 = 6\,.\]

i due numeri consecutivi sono:    x;  x + 1;

ci vuole un'equazione:

1/4 [x] - 1/6 [x + 1]  = 1/8 [x + 1] - 1/10 [x];

x/4 - (x +1) / 6 = (x + 1) / 8 - x / 10;

i denominatori sono tutti divisibili per 2, semplifichiamo;

x/2 - (x + 1) / 3 = (x + 1) / 4 - x / 5; 

mcm (2; 3; 4; 5) = 5 * 4 * 3 =  60;

eliminiamo i denominatori, moltiplicando per 60:

30 x - 20 * (x + 1) = 15 * (x + 1) - 12 x ;

30 x - 20 x - 20 = 15 x + 15 - 12 x;

30 x - 20 x - 15 x + 12 x = 15 + 20;

7 x = 35;

x = 35 / 7 ;

x = 5;

x + 1 = 6.

Ciao  @gioiagregorio

Così com'è scritto il quesito è privo di significato perché "due numeri consecutivi", in generale, non esistono.
Assume il significato di un problema di aritmetica solo aggiungendo un attributo restrittivo
«Determina due numeri INTERI consecutivi tali che ...»
perché, fra interi, sono consecutivi due numeri (p, s) tali che s = p + 1.
In tal caso la differenza
* p/4 - s/6 = p/4 - (p + 1)/6 = (p - 2)/12
deve eguagliare la differenza
* s/8 - p/10 = (p + 1)/8 - p/10 = (p + 5)/40
da cui l'equazione risolutiva
* (p - 2)/12 = (p + 5)/40 ≡
≡ 40*(p - 2) - 12*(p + 5) = 0 ≡ p = 5 → s = 6