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[Risolto] Equazioni

  

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In figura sono riportati:
- il triangolo $\mathrm{ABC}$ rettangolo e isoscele, in cui è stato considerato un punto $P$ sul lato $A B$, a distanza $x$ da A; è stata tracciata la perpendicolare per $\mathrm{P}$ ad $\mathrm{AB}$, che incontra $\mathrm{BC}$ in $\mathrm{D}$ e la perpendicolare ad $\mathrm{AC}$ per $\mathrm{D}$, che incontra $\mathrm{AC}$ in $\mathrm{E}$; è stata inoltre indicata con d la misura della diagonale del rettangolo APDE ;
- la parabola in cui la parte evidenziata rappresenta la funzione $y=\mathrm{d}^2(\mathrm{x})$.

Utilizzando i riferimenti indicati sul grafico della funzione, ricava le misure dei lati del triangolo.

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Buonasera. Vi chiedo cortesemente di darmi una mano a risolvere questi esercizio.

Grazie in anticipo

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Il triangolo rettangolo isoscele ABC ha cateti che valgono ciascuno 1.

y = d^2 è rappresentato dalla parabola: y = a·x^2 + b·x + c

con le limitazioni di figura: 0 ≤ x ≤ 1

La parabola da determinare ha coefficienti che si deducono dal sistema:

{1/2 = a·(1/2)^2 + b·(1/2) + c  (passa dal vertice: [1/2, 1/2] )

{1 = a·0^2 + b·0 + c (passa da [0, 1])

{- b/(2·a) = 1/2 (asse della parabola )

Quindi si tratta di risolvere il sistema:

{a/4 + b/2 + c = 1/2

{c = 1

{b/a = -1

che risolto fornisce soluzione:

[a = 2 ∧ b = -2 ∧ c = 1]

Quindi la parabola:

y = 2·x^2 - 2·x + 1 con 0 ≤ x ≤ 1

Quindi:

d^2 = 2·x^2 - 2·x + 1

per x = 0: d^2 = 2·0^2 - 2·0 + 1----> d^2 = 1 che è la misura del cateto AC

per x  = 1: d^2 = 2·1^2 - 2·1 + 1----> d^2=1 che è la misura del cateto AB

Per valori intermedi di x:

d^2 = ΑΡ^2 + ΡD^2 = x^2 + (1 - x)^2 = 2·x^2 - 2·x + 1

OK!!

 



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