Equazioni

@paky_03_

Nell'esempio che hai scritto, le soluzioni delle due equazioni sono le stesse

x1 = - √3  e  x2 = √3

Inoltre devi tenere a mente questa regola:

Regola di cancellazione: data un'equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un'equazione equivalente.

A) "se si elevano alla stessa potenza entrambi i membri di un'equazione essa rimane tale o varia?"
TUTT'E DUE.
Essa rimane tale (rimane un'equazione) E varia (diviene un'equazione diversa).
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B) "(x^2-1)^2=(5-x^2)^2 equivale a x^2-1=5-x^2?"
NO, NON EQUIVALE.
L'equivalenza è un'implicazione reciproca:
* A ≡ B
vuol dire
* (A → B) & (B → A) oppure (A ↔ B)
Ora, nel caso d'esempio, si ha
* (x^2 - 1 = 5 - x^2) → ((x^2 - 1)^2 = (5 - x^2)^2)
ma
((x^2 - 1)^2 = (5 - x^2)^2) → ((x^2 - 1) = ± (5 - x^2))

Tutte le equazioni sono rette da due sacrosanti principi di equivalenza: non esiste uno che parli di elevamento a potenza di entrambi i membri! E' vero che tale operazione si fa spesso, ma è anche vero che all'ottenimento delle soluzioni ottenute in questo modo bisogna sempre effettuare una verifica sulla traccia dell'equazione per vedere se tra le soluzioni ottenute ci siano o no delle soluzioni estranee.

Nel caso in questione una rondine non fa primavera: cioè fra le radici che in tal modo si ottengono non esistono radici estranee. (a parte il fatto che così facendo viene modificato il grado dell'equazione)

rimane tale nel senso che se  a = a (questo significa equazione), per cui   a-a = 0 ; a/a = 1 

allora : 

a^x = a^x 

a^x-a^x = 0

a^x/a^x = 1 

...per ogni x che sia dispari

L'equazione non rimane tale, varia ad ogni  operazione fatta su entrambi i membri, ma la soluzione non cambia, quindi si dice che la nuova equazione ottenuta resta equivalente alla precedente;

infatti nel risolvere un'equazione si passa da una più complessa ad una meno complessa fino ad arrivare alla più semplice possibile da risolvere, tipo:

a x = b; se di primo grado;

a x^2 +b x + c = 0, se di 2° grado;

a x^2 = c; se di 2° grado incompleta.

Basta non dividere o moltiplicare per 0.

(x^2-1)^2=(5-x^2)^2;

facendo la radice di entrambi i membri, equivale a: 

x^2 - 1 = 5 - x^2;

sommando per + x^2 entrambi i membri:

x^2 - 1 + x^2 = 5 - x^2 + x^2;

2 x^2 - 1 = 5;

aggiungendo + 1, la nuova equazione diventa:

2 x^2 - 1 + 1 = 5 + 1;

2 x^2 = 6;

dividendo per entrambi i membri, diventa:

2 x^2 / 2 = 6 /2;

x^2 = 3;

Soluzione facendo  la radice quadrata di entrambi i membri:

x = +- rad(3).

Questa è la soluzione dell'equazione di partenza.

[ rad(3)^2 - 1]^2 = [5 - rad(3)^2]^2;

[3 - 1]^2 = [5 - 3]^2;

2^2 = 2^2;

[ (-rad(3))^2 - 1]^2 = [5 - (- rad(3))^2]^2;

 [ + 3 - 1]^2 = [5 - (+3)]^2;

2^2 = 2^2.

Ciao @paky_03_

Nel campo reale   A = B é equivalente a A^n = B^n 

se n é dispari.

Se n é pari, non é equivalente perché A^n = B^n comprende anche A = -B.

x1 = - √3  e  x2 = √3