[Risolto] Equazionedi grado superiore al secondo

dato che ha una somma di potenze pari, affinchè il risultato sia 0 devono necessariamente essere 0 etrambi gli addendi.

Quindi è sufficiente trovare gli zeri di

$x^4-5x^2+4=0$ (due valori si trovano a mente, sono $x=1$ e $x=-1$, gli altri due sono appena una pochino più complicati ma niente di che, sono $x=2$ e $x=-2$)

$x^3+2x^2-x-2=0$ le cui radici guarda caso sono $x=1$, $x=-1$ e $x=-2$

Le soluzioni sono quei valori per cui gli addendi si annullano entrambi, quindi:

$x=1$, $x=-1$ e $x=-2$

Ragionando con calma se "ne esce fuori" con facilità, anche se non con semplicità: si devono scovare significati impliciti.
A) La somma di potenze pari è zero se e solo se sono zero entrambe le basi: l'equazione 350, di grado 24, equivale a un sistema di grado 12.
* (x^4 - 5*x^2 + 4)^6 + (x^3 + 2*x^2 - x - 2)^4 = 0 ≡
≡ (x^4 - 5*x^2 + 4 = 0) & (x^3 + 2*x^2 - x - 2 = 0)
Per trovare gli zeri dei due congiunti puoi dar retta @Sebastiano che ti indica la via del colpo d'occhio ("ictus oculi", la risoluzione per ispezione tipica delle persone esperte) e allora è inutile che tu prosegua a leggere la mia risposta che invece presume che tu l'esperienza ancora te la debba formare e che quindi preferisca i metodi procedurali a quelli intuitivi.
B) La biquadratica
Il congiunto di quarto grado, esente da potenze dispari, è di secondo grado in x^2.
* x^4 - 5*x^2 + 4 = 0 ≡
≡ u^2 - 5*u + 4 = 0 ≡
≡ (u = 1) oppure (u = 4) ≡
≡ (x^2 = 1) oppure (x^2 = 4) ≡
≡ (x = - 1) oppure (x = 1) oppure (x = - 2) oppure (x = 2) ≡
≡ x ∈ {- 2, - 1, 1, 2}
C) La cubica
Il congiunto di terzo grado è monico a termine noto intero, quindi conviene anzitutto riscriverlo in modo da facilitarne la valutazione e poi valutarlo sui divisori del termine noto {- 2, - 1, 1, 2} per tentare di estrarne almeno uno zero.
* p(x) = x^3 + 2*x^2 - x - 2 = ((x + 2)*x - 1)*x - 2
* p(- 2) = 0
* p(- 1) = 0
* p(1) = 0
* p(2) = 12
quindi
* p(x) = x^3 + 2*x^2 - x - 2 = 0 ≡
≡ x ∈ {- 2, - 1, 1}
D) La risoluzione della 350
* (x^4 - 5*x^2 + 4)^6 + (x^3 + 2*x^2 - x - 2)^4 = 0 ≡
≡ (x^4 - 5*x^2 + 4 = 0) & (x^3 + 2*x^2 - x - 2 = 0) ≡
≡ (x ∈ {- 2, - 1, 1, 2}) & (x ∈ {- 2, - 1, 1}) ≡
≡ x ∈ {- 2, - 1, 1}