EQUAZIONE TRIGONOMETRIA

Userò la tecnica dell'angolo aggiunto, utile per risolvere le equazioni del tipo

$ a sin x + b cosx + c = 0 $

Nel nostro caso

$ \sqrt{3} sin x + cos x = - 1 $

Calcoliamo $\sqrt{a^2+b^2} = 2$ Dividiamo tutti i termini dell'equazione per $\sqrt{a^2+b^2}$

$ \frac{\sqrt{3}}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x = -\frac{1}{2} $

Osserviamo che la parte sinistra non è altro che la formula del seno di una somma di angoli.

Indichiamo con φ l'angolo aggiunto all'angolo x, si ha così

$ sin (φ + x) = - \frac{1}{2} $

E' semplice dedurre il valore di φ, infatti non può che essere φ = π/6. Infatti sinφ = 1/2 & cosφ = √3/2.  Per cui,  

$ sin (\frac{\pi}{6} + x) = - \frac{1}{2} $

Abbiamo così ridotto l'equazione in seno e coseno in una equazione più semplice con il solo seno

Le soluzioni dell'equazioni precedente sono 

1. $ \frac{\pi}{6} + x = \frac{7\pi}{6} \, ⇒ \; x = \pi + 2k\pi $
2. $ \frac{\pi}{6} + x = \frac{11\pi}{6} \, ⇒ \; x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi $

con $ k \in \mathbb{Z} $