[Risolto] Equazione retta di Eulero

Ciao @beppe!

La retta di Eulero è definita nell'esercizio da te proposto ed è la retta che passa per baricentro, ortocentro e circocentro. Il teorema di Eulero ci assicura, infatti, che questi tre punti sono allineati in ogni triangolo.

Per trovare la retta di Eulero, calcoliamo dunque le coordinate del baricentro, che ti ricordo essere:

$G=(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})$

$G=(0, 4/3)$

Il circocentro è il punto di incontro degli assi. Possiamo determinarlo trovando le equazioni di due assi del triangoli e trovandone l'intersezione. Ti ricordo che l'asse è la retta passante per il punto medio di un segmento e ad esso perpendicolare.

Il punto medio del segmento AB è:

$M=(\frac{-3}{2}, 0)$

Il coefficiente angolare della retta passante per A e B è:

$m=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} = 4$

Dunque l'asse di AB è:

$y-0 = -1/4 (x+3/2)$

$y = -1/4x -3/8$

Analogamente il punto medio di BC è:

$N=(1/2, 1)

e il coefficiente:

$m=(-6)/(-5) = 6/5$

Allora l'asse è:

$y-1 = -5/6 (x-1/2)$

$y-1 = -5/6 x +5/12$

$12y-12 = -10x +5$

$10x+12y-17 = 0$

Mettendo a sistema gli assi trovati:

{$y = -1/4x -3/8$

{$10x+12y-17=0$

Sostituendo nella seconda:

$10x +12(-1/4x -3/8) -17 =0$

$10x -3x -9/2 -17=0$

$20x-6x-9-34=0$

$14x = 43$

$x=43/14$

e 

$y=-8/7$

Dunque la retta di Eulero è quella che passa per G=(0, 4/3) e Circ=(43/14, -8/7):

$\frac{y-4/3}{-8/7 - 4/3} = \frac{x-0}{43/14 - 0}$

$\frac{y-4/3}{-52/21} = \frac{x}{43/14}$

$43/14 y - 86/21 = -52/21 x$

$ y = -0.806 x +1.333$

Noemi

@beppe

Ciao di nuovo. Arrivo sino alla retta di Eulero, lasciando a te l'ultima parte da risolvere.

I punti sono: A(-1, 2)  , B(-2, -2) , C(3, 4)

Determinazione baricentro G del triangolo:

{x=(-1-2+3)/3

{y=(2-2+4)/3

Quindi: G(0,4/3)

Determinazione circocentro F del triangolo:

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

{(-1)^2 + 2^2 + a·(-1) + b·2 + c = 0

{(-2)^2 + (-2)^2 + a·(-2) + b·(-2) + c = 0

{3^2 + 4^2 + a·3 + b·4 + c = 0

cioè ti trovi il centro F della circonferenza circoscritta imponendo il passaggio per i vertici del triangolo.

Quindi risolvi:

{a - 2·b - c = 5

{2·a + 2·b - c = 8

{3·a + 4·b + c = -25

Se lo fai ottieni: [a = - 43/7 ∧ b = 16/7 ∧ c = - 110/7]

x^2 + y^2 - 43·x/7 + 16·y/7 - 110/7 = 0

Da cui riconosci il centro F:     F(43/14, - 8/7)

La retta di Eulero è quella retta che passa per questi due punti G ed F

(y + 8/7)/(x - 43/14) = (4/3 + 8/7)/(0 - 43/14)

se risolvi l'equazione rispetto ad y ottieni:

y = 4/3 - 104·x/129

Per l'ortocentro ti bastano 2 rette che rappresentano le equazioni  di 2 altezze relative a due lati.

Le metti a sistema e risolvi tale sistema. Ottieni le coordinate dell'ortocentro. Per la verifica devi inserire tali coordinate nell'equazione ultima trovata.

Definizione
http://it.wikipedia.org/wiki/Retta_di_Eulero
Teoremi
Quello che hai nominato è al link
http://www.skuola.net/matematica/geometria/teorema-eulero.html
ma se ne trovano a bizzeffe sui punti notevoli, non saprei quale altro scegliere.
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CIO' CHE E' STRETTAMENTE NECESSARIO
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Vertici
* A(- 1, 2), B(- 2, - 2), C(3, 4)
Baricentro
* G(0, 4/3) = (A + B + C)/3
Circumcentro
* K(43/14, - 8/7) ≡ |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = R^2
Retta congiungente
* KG ≡ y = 4/3 - (104/129)*x
Punto cursore della retta di Eulero
* P(k, 4/3 - (104/129)*k)
Ortocentro
* H(- 43/7, 44/7) ≡ intersezione di due altezze
Controllo che r ci passi
* P(- 43/7, 4/3 - (104/129)*(- 43/7)) = (- 43/7, 44/7) = H ≡ VERO