[Risolto] Equazione parametrica retta

Se c'è un solo parametro io lo chiamo "k" (mi riservo i nomi "m" e "a" per usi specifici).
Se c'è un'equazione parametrica in k non la chiamo col nome della singola curva "pippo", la chiamo equazione di una "famiglia di pippi di parametro k".
Una "famiglia di rette di parametro k" si chiama "fascio".
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Data l'equazione
* r(k) ≡ 3*x - 2*k*y + (k - 2) = 0
di un fascio di rette del piano Oxy di parametro k, si chiede di determinare i valori di k per cui siano vere le affermazioni:
a) r(k) passa per l'origine;
b) r(k) ha pendenza positiva;
c) r(k) ha pendenza pari a quella della retta congiungente A(1, 1) e B(5, - 7);
d) r(k) dista meno di uno dall'origine O(0, 0).
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Il fascio ha solo due dei tre coefficienti funzione di k quindi ha due soli casi particolari: k = 0 che azzera il termine in y; k = 2 che azzera il termine noto.
* r(0) ≡ 3*x - 2*0*y + (0 - 2) = 0 ≡ x = 2/3
* r(2) ≡ 3*x - 2*2*y + (2 - 2) = 0 ≡ y = (3/4)*x
Da ciò si vede che:
* r(2) risponde al quesito a;
* il fascio è proprio ed ha centro C(2/3, 1/2).
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Per il caso generico, k != 0, si ha
* r(k) ≡ y = (3/(2*k))*x + (k - 2)/(2*k)
di pendenza
* m(k) = 3/(2*k)
e intercetta
* q(k) = (k - 2)/(2*k)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) r(k) passa per l'origine per k = 2.
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b) r(k) ha pendenza positiva per 3/(2*k) > 0 ≡ k > 0.
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c) r(k) ha pendenza pari a quella della retta congiungente A(1, 1) e B(5, - 7) per 3/(2*k) = - 2 ≡ k = - 3/4; in quanto
* AB ≡ y = 3 - 2*x
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d) r(k) dista meno di uno dall'origine O(0, 0) se e solo se risulti secante la circonferenza goniometrica
* Γ ≡ x^2 + y^2 = 1
cioè se il sistema
* r(k) & Γ
ha soluzioni reali e distinte.
Nei due casi
d1) (r(0) ≡ x = 2/3) & (x^2 + y^2 = 1) ≡ (2/3, ± √5/3)
oppure
d2) (y = (3/(2*k))*x + (k - 2)/(2*k)) & (x^2 + y^2 = 1)
con risolvente
* x^2 + ((3/(2*k))*x + (k - 2)/(2*k))^2 - 1 = 0 ≡
≡ (4*k^2 + 9)*x^2 + 6*(k - 2)*x - (3*k - 2)*(k + 2) = 0
e discriminante
* Δ(k) = 16*(3*k^2 + 4*k + 5)*k^2
che è positivo per
* k != 0

c) corretto concettualmente

m = (-7-1)/(5-1) = -2

m = -A/B = -3/(-2a) = 3/2a

e 3/(2a) = -2

equivale a -4a = 3

a = -3/4

d) dalla formula della distanza punto - retta

| a - 2 |/sqrt(9 + 4a^2) < 1

(a - 2)^2/(9 + 4a^2) < 1

il denominatore é sempre positivo

a^2 - 4a + 4 < 9 + 4a^2

3a^2 + 4a + 5 > 0

sempre verificata perché il delta é negativo

D = 16 - 3*4* 5 = - 44

Ciao di nuovo.

C)

Retta per i punti dati:

(y - 1)/(x - 1) = (-7 - 1)/(5 - 1)------> (y - 1)/(x - 1) = -2

m = -2

Quindi:

y = 3·x/(2·a) + (a - 2)/(2·a) dal fascio di rette

3/(2·a) = -2------> a = - 3/4

D)

Prendo retta del fascio e la metto a sistema con una circonferenza di raggio <1:

{3·x - 2·a·y + a - 2 = 0

{x^2 + y^2 < 1

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Risolvo:

x = (2·a·y - a + 2)/3

((2·a·y - a + 2)/3)^2 + y^2 < 1

y^2·(4·a^2 + 9)/9 + 4·a·y·(2 - a)/9 + (a^2 - 4·a + 4)/9 < 1

y^2·(4·a^2 + 9) + 4·a·y·(2 - a) + a^2 - 4·a < 5

y^2·(4·a^2 + 9) + 4·a·y·(2 - a) + (a^2 - 4·a - 5) < 0

Δ/4 = (2·a·(2 - a))^2 - (4·a^2 + 9)·(a^2 - 4·a - 5)

Δ/4 = 27·a^2 + 36·a + 45 <0 disequazione impossibile