Equazione parametrica con somma dei quadrati e cubi delle radici

@Maurizio

Come t'ho scritto ieri
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/51099/
tu devi risolvere il quesito che è stato posto nella forma che ha, senza introdurre tacite ipotesi aggiuntive.
Qui nulla è detto sul parametro e tu nulla devi supporre.
IL RISULTATO ATTESO E' ERRATO avendo introdotto DUE tacite ipotesi aggiuntive.
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L'equazione
* k*x^2 - (2*k - 1)*x + (k - 1) = 0
ha parametrici tutt'e tre i coefficienti e si deve distinguere il caso del calo di grado.
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Per k = 0
* 0*x^2 - (2*0 - 1)*x + (0 - 1) = 0 ≡ x = 1 → x^2 = 1 → x^3 = 1
si soddisfà al quesito a, ma non al b.
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Per k != 0 si ha
* x^2 - s*x + p = 0
con
* s = (2 - 1/k)
* p = (1 - 1/k)
* Δ = s^2 − 4*p = (2 - 1/k)^2 − 4*(1 - 1/k) = 1/k^2
* √Δ = 1/k
* X1 = (s - √Δ)/2 = ((2 - 1/k) - 1/k)/2 = 1 - 1/k
* X2 = (s + √Δ)/2 = ((2 - 1/k) + 1/k)/2 = 1
* S2 = (X1)^2 + (X2)^2 = (1 - 1/k)^2 + (1)^2 = 1/k^2 - 2/k + 2
* S3 = (X1)^3 + (X2)^3 = (1 - 1/k)^3 + (1)^3 = (2*k - 1)*(k^2 - k + 1)/k^3
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QUESITI
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a) S2 = 1 ≡ 1/k^2 - 2/k + 2 = 1 ≡ k = 1
RISPOSTA
* (k = 0) oppure (k = 1)
NULLA E' DETTO sul fatto che k debba essere non nullo.
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b) S3 = 2 ≡ (2*k - 1)*(k^2 - k + 1)/k^3 = 2 ≡
≡ (k - 1/2)^2 = - 1/12 ≡
≡ k - 1/2 = ± i/√12 ≡
≡ k = (1 ± i/√3)/2
RISPOSTA
* (k = (1 - i/√3)/2) oppure (k = (1 + i/√3)/2)
NULLA E' DETTO sul fatto che k debba essere reale.