equazione parametrica

Cominciamo con Delta = (k + 1)^2 + 4*1*k^2 = (k+1)^2 + (2k)^2

é somma di due quadrati che non possono essere contemporaneamente nulli

pertanto le radici sono sempre reali e distinte. A dire il vero, per dedurre questo,

basta osservare che A e C sono incondizionatamente discordi tranne che per k = 0

e che un'equazione spuria ha sempre radici reali.

Detto questo :

a) x1 + x2 = 10 => -B/A = 10 => (k+1)/1 = 10 => k = 10 - 1 = 9;

b) x1*x2 = 1 => C/A = 1 => -k^2/1 = 1 => k^2 = -1 => impossibile

c) x2 = -2/x1 => x1 x2 = -2 => -k^2/1 = -2 => k^2 = 2 => k = - rad(2) V k = rad(2)

d) Svolgendo il prodotto termine a termine

x1 x2 + 2x1 + 2x2 + 4 = 3

C/A - 2B/A = 3 - 4 = -1

ed essendo A = 1

C - 2B = -1

-k^2 + 2k + 2 = -1

k^2 - 2k - 3 = 0

k^2 - 2k + 1 = 4

(k - 1)^2 = 2^2

k - 1 = +-2

k = 1 +- 2 => k = -1 V k = 3

Il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - (k + 1)*x - k^2 = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p = (k + 1)^2 − 4*(- k^2) = 5*k^2 + 2*k + 1 >= 4/5 > 0
e zeri
* X1 = (k + 1 - √(5*k^2 + 2*k + 1))/2
* X2 = (k + 1 + √(5*k^2 + 2*k + 1))/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che X1 + X2 = s (somma) e X1 * X2 = p (prodotto).
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
-----------------------------
Risposte ai quesiti
---------------
pre) Verificato da Δ >= 4/5 > 0
a) s = 10 ≡ k + 1 = 10 ≡ k = 9
b) X2 = 1/X1 ≡ p = 1 ≡ - k^2 = 1 ≡ k = ± i ≡ k ∉ R
c) a = - 2/b ≡ a*b = - 2 ≡ p = - 2 ≡ - k^2 = - 2 ≡ k = ± √2
d) (a + 2)*(b + 2) = 3 ≡ a*b + 2*(a + b) + 4 - 3 = 0 ≡
≡ p + 2*s + 1 = 0 ≡
≡ - k^2 + 2*(k + 1) + 1 = 0 ≡
≡ (k + 1)*(k - 3) = 0 ≡
≡ (k = - 1) oppure (k = 3)