[Risolto] Equazione parametrica

Ciao @beppe

(k - 1)·x^2 - 2·(k + 1)·x + (k + 2) = 0

per la realtà delle radici deve essere:

Δ/4 ≥ 0----> (k + 1)^2 - (k - 1)·(k + 2) ≥ 0

quindi:  k + 3 ≥ 0----> k ≥ -3

a) somma radici positiva:

{2·(k + 1)/(k - 1) > 0

{k ≥ -3

quindi:

{k < -1 ∨ k > 1

{k ≥ -3

risolvo ed ottengo: [-3 ≤ k < -1, k > 1]

b) prodotto radici negativo:

{(k + 2)/(k - 1) < 0

{k ≥ -3

quindi: 

{-2 < k < 1

{k ≥ -3

Risolvo ed ottengo:  [-2 < k < 1]

Lunedì 17 u.s. l'Imperial Regia cortesia di Beppe classificava solo come "precisazioni in merito all'esercizio"
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/128702/
la mia non troppo velata critica @LucianoP e @StefanoPescetto per essersi accodati al marchiano errore commesso dall'autore del risultato atteso.
Questa volta devo essere esplicito nel far presente @LucianoP che anche in quest'esercizio il testo non dice che le radici debbano essere reali, ma pone condizioni ESCLUSIVAMENTE sui coefficienti.
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L'equazione
* (k - 1)*x^2 - 2*(k + 1)*x + (k + 2) = 0
ha, dei tre casi particolari, solo uno che interessa il problema
* (k = 1) & ((k - 1)*x^2 - 2*(k + 1)*x + (k + 2) = 0) ≡
≡ (k = 1) & (x = 3/4)
in cui somma e prodotto delle radici coincidono su un valore positivo(3/4).
Quindi k = 1 non è soluzione del problema.
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Per k != 1 è lecito riportare l'equazione alla forma normale canonica monica
* x^2 - s*x + p = 0 ≡ (x - X1)*(x - X2) = 0
dove le espressioni
* s = X1 + X2 = 2*(k + 1)/(k - 1)
* p = X1 * X2 = (k + 2)/(k - 1)
consentono di tradurre le condizioni dei quesiti nei vincoli
* s = X1 + X2 = 2*(k + 1)/(k - 1) > 0 ≡ |k| > 1 ≡ (k < - 1) oppure (k > 1)
* p = X1 * X2 = (k + 2)/(k - 1) < 0 ≡ - 2 < k < 1
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Per dimostrare l'insensatezza di imporre la realtà delle radici basta un contresempio.
* (k = - 5) & ((k - 1)*x^2 - 2*(k + 1)*x + (k + 2) = 0) ≡
≡ (k = - 5) & (X = (4 ± i*√2)/6)
da cui
* X1 + X2 = (4 - i*√2)/6 + (4 + i*√2)/6 = 4/3 > 0
QED