[Risolto] Equazione parabola e area triangolo

y = x^2 + bx+ c 

passante per O(0,0)----> c=0-------> y = x^2 + bx

Si mette a sistema:

{y = x^2 + b·x

{y = 6·x Tangente in O(0,0)

quindi, per sostituzione: x^2 + b·x - 6·x = 0----> x^2 + x·(b - 6) = 0

condizione di tangenza, in questo caso si scrive: (b-6)^2=0-----> b=6

parabola: y = x^2+6x

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per x=-5: y=5^2+6*(-5)= -5 ----A(-5,-5)

tangente t in A(-5,-5)

y=x^2+6x con formule di sdoppiamento:

(y - 5)/2 = - 5·x + 6·(x - 5)/2--------> y = - 4·x - 25

normale n in A(-5,-5)

m=1/4 (condizione di normalità con la tangente)

y + 5 = 1/4·(x + 5)-------> y = x/4 - 15/4

segue figura:

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Determinazione triangolo ABC e relativa area

Calcolo terza retta:

y = x^2 + 6·x per x=-2: y = (-2)^2 + 6·(-2)-----> y = -8 quindi P(-2,-8)

Passa da P e m=4:

y + 8 = 4·(x + 2)------> y = 4·x

Determinazione punto B. Metto a sistema:

{y = 4·x

{y = x/4 - 15/4

risolvo: [x = -1 ∧ y = -4]------> B(-1,-4)

Punto C analogamente:

{y = 4·x

{y = - 4·x - 25

risolvo: [x = - 25/8 ∧ y = - 25/2]------> C(-25/8,-25/2)

Area ABC

A(-5,-5)

B(-1,-4)

C(-25/8,-25/2)

A(-5,-5)

Area=Α = 1/2·ABS((-5)·(-4) + (-1)·(- 25/2) + (- 25/8)·(-5) +

- ((-5)·(- 25/2) + (- 25/8)·(-4) + (-1)·(-5))) (metodo allacciamento scarpe)

Α = 255/16 ( circa Α = 15.94)

@Beppe 

Il punto di ascissa - 2 ha ordinata - 8.

La retta di coefficiente angolare 4 per il punto ( - 2, - 8) è 

Y=4x

Il triangolo delimitato dalle tre rette è rettangolo nel punto (-5, - 5) essendo 

Y= - 4x-25  perpendicolare a y= 1/4*x - 15/4

Possiamo calcolare l'area 

A=(cateto_1* cateto_2) /2

Dal sistema 

{y= 4x 

{y= 1/4*x - 15/4 

Otteniamo 

15/4*x = - 15/4

Quindi un vertice è (-1, - 4)

Dal sistema 

{y=4x

{y= - 4x - 25

otteniamo le coordinate del terzo vertice 

8x= - 25

Quindi il vertice è (- 25/8, - 25/2)

Possiamo calcolare la lunghezza dei due cateti C1, c2

C1= radice (16+1) = radice (17)

C2 = (15/8)* radice (17)

L'area del triangolo delimitato dalle tre rette è 

A= (17*15)/(8*2) = 255/16

PASSAGGIO PER PASSAGGIO
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QUESITO #1
La parabola
* Γ ≡ y = x^2 + b*x + c
ha pendenza
* dy/dx = m(x) = 2*x + b
passa per l'origine se priva di termine noto (c = 0), quindi
* Γ ≡ y = x^2 + b*x
e ivi tange una retta di pendenza 6 se
* m(0) = 2*0 + b = 6
quindi
* Γ ≡ y = x^2 + 6*x = x*(x + 6) = (x + 3)^2 - 9
* m(x) = 2*x + 6
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QUESITO #2
Il punto di ascissa - 5 è
* T(- 5, (- 5 + 3)^2 - 9) = (- 5, - 5)
dove Γ ha pendenza
* m(- 5) = 2*(- 5) + 6 = - 4
Le rette non verticali per T(- 5, - 5) hanno la forma
* y = k*(x + 5) - 5
fra le quali le due perpendicolari
* t ≡ y = - 4*(x + 5) - 5 ≡ y = - 4*x - 25
* n ≡ y = (x + 5)/4 - 5 ≡ y = (x - 15)/4
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QUESITO #3a
Nella frase «Calcolare l'area del triangolo formato da t e n con la retta avente coefficiente angolare 4 e passante per il punto di ascissa - 2.» di chi sarà mai "il punto di ascissa - 2"?
Voglio sperare che si tratti di un punto di Γ e cioè che il punto di passaggio sia
* P(- 2, (- 2 + 3)^2 - 9) = (- 2, - 8)
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QUESITO #3b
Le rette non verticali per P(- 2, - 8) hanno la forma
* y = k*(x + 2) - 8
fra le quali quella di pendenza 4
* s ≡ y = 4*(x + 2) - 8 ≡ y = 4*x
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QUESITO #3c
L'area del triangolo formato dalle rette {t, n, s} può essere:
1) indefinita, se fra {t, n, s} ci sono almeno due parallele;
2) zero, se {t, n, s} formano fascio proprio;
3) definita e non zero, negli altri casi.
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Il sistema
* (y = - 4*x - 25) & (y = (x - 15)/4) & (y = 4*x) ≡ incompatibile
assicura che {t, n, s} non formano fascio proprio.
I sistemi
* (y = (x - 15)/4) & (y = 4*x) ≡ R(- 1, - 4)
* (y = - 4*x - 25) & (y = 4*x) ≡ S(- 25/8, - 25/2)
* (y = - 4*x - 25) & (y = (x - 15)/4) ≡ T(- 5, - 5)
assicurano che {t, n, s}, con intersezioni distinte, formano un triangolo non degenere, rettangolo in T per costruzione, di area il semiprodotto dei cateti
* A(RST) = |TR|*|TS|/2 = (√17)*(15/8)*√17/2 = 255/16