Equazione n. 43 con un valore assoluto dentro l'altro

|1+2x-|x+2|| = x-1

Eliminiamo il valore assoluto interno spezzandolo in due casi

1.  Se x+2 ≥ 0 cioè x ≥ -2 allora 

|1+2x-(x+2)| = x-1

|x-1| = x-1

vera per x-1 ≥ 0 ovvero per ogni x reale tale che x ≥ 1.

    2. Se x+2 <0 cioè x < -2 allora

|1+2x+x+2| = x-1

3|x+1| = x-1

x = -1/2 

Soluzione non accettabile poiché maggiore di -2.

Conclusione.  L'equazione ammette infinite soluzioni, cioè tutti i valori delle x purché maggiori o eguali a 1.

Alcune verifiche.

x = 2; in tal caso |1+4-4| = 1   OK

x = 5; inquesto caso |1+10-7| = 4 OK

ABS(1 + 2·x - ABS(x + 2)) = x - 1

Si comincia dal modulo interno: lo si libera

ABS(x + 2) = x + 2 se x ≥ -2

ABS(x + 2) = - (x + 2) se x < -2

Ciò significa quindi risolvere due sistemi con un valore assoluto al 1° membro

Sistema 1

{ABS(1 + 2·x - (x + 2)) = x - 1

{x ≥ -2

Sistema 2

{ABS(1 + 2·x + (x + 2)) = x - 1

{x < -2

---------------------------------

Sistema 1

{ABS(x - 1) = x - 1

{x ≥ -2

lo risolvi ed ottieni: [x ≥ 1]

Interpretazione grafica:

C'E' COINCIDENZA fra le due funzioni che rappresentano i due membri per [x ≥ 1]

----------------------------------

Sistema 2

{3·ABS(x + 1) = x - 1

{x < -2

lo risolvi ed ottieni: [] sistema impossibile

Interpretazione grafica:

Non c'è alcun punto in comune!!!

Il valore assoluto a sinistra é positivo o nullo

per cui x >= 1

e a maggior ragione x >= -2

allora

| 1 + 2x - x - 2 | = x - 1

| x - 1 | = x - 1

sempre verificata se x >= 1

In questi anni da che ho iniziato a rispondere alle tue domande t'ho inviato più volte diversi promemoria su come trattare alcune categorie di problemi (invitandoti a stamparli e catalogarli): questo che segue penso che sia la terza o la quarta volta che te lo invio, ma lo faccio volentieri.
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Promemoria
I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre.
Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) oppure (a = + b) [unione]
c) |a| >= b ≡ (a <= - b) oppure (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.