[Risolto] Equazione logaritmica n. 603

@Beppe

Ciao Beppe,

L'errore che hai fatto è nel passaggio che ti ho evidenziato in cui togli i logaritmi, quando dici:

"

A questo punto mi risulta : (1/(2x + 4) * x * (x-1) tutto fratto x/2 = 1." 

Infatti:

log(3,a) / log (3,b) = 0  NON IMPLICA a/b = 1

Nel nostro caso:

Insieme di definizione in R: x>1 e x≠2

Riprendo il tuo svolgimento e applico la legge di annullamento del quoziente. Il quoziente è nullo se risulta nullo il numeratore (posta la condizione D(x) = log(3, x/2)≠0  ==>  x≠2) 

[x*(x - 1)]/(2x + 4) = 1

x² - 3x - 4 = 0

(x-4)(x+1)=0

x= - 1 Non accettabile 

x= 4 unica soluzione accettabile (>1 e ≠2)

Per le condizioni di esistenza ( i logaritmi sono separati ) imponiamo 

{ 2x + 4 > 0

{ x > 0

{ x - 1 > 0

{ log_3 (x/2) =/= 0

ovvero    x > -2, x > 0, x > 1 e x/2 =/= 1

ovvero ancora x > 1 e x =/= 2.

Per le proprietà dei logaritmi 

log_1/3  (2x+4) = - log_3 (2x+4) 

e possiamo riscrivere 

- log_3 (2x + 4) + log_3 (x) + log_3 (x- 1) = 0 

anche nella forma 

log_3 [x(x-1)/(2x+4)] = 0

e passando agli esponenziali di base 3 

(x^2 - x)/(2x + 4) = 1

x^2 - x = 2x + 4     avendo tenuto conto delle C.E.

x^2 - 3x - 4 = 0

x^2 - 4x + x - 4 = 0

x(x-4) + (x-4) = 0

(x+1)(x- 4) = 0

x1 = -1 non é accettabile perché minore di 1

x2 = 4 é accettabile perché maggiore di 2

L'equazione
603) (log(1/3, 2*x + 4) + log(3, x) + log(3, x - 1))/log(3, x/2) = 0
è definita se sono non nulli argomenti e denominatore, cioè là dove è falso
* (2*x + 4)*(x)*(x - 1)*(log(3, x/2)) = 0 ≡
≡ x in {- 2, 0, 1, 2}
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Ciò assodato, le successive equivalenze semplificanti sono
* (log(1/3, 2*x + 4) + log(3, x) + log(3, x - 1))/log(3, x/2) = 0 ≡
≡ (ln(x - 1) + ln(x) - ln(2*x + 4))/(ln(x) - ln(2)) = 0 ≡
≡ ln(x*(x - 1)/(2*x + 4)) = 0 ≡
≡ e^ln(x*(x - 1)/(2*x + 4)) = e^0 ≡
≡ x*(x - 1)/(2*x + 4) = 1 ≡
≡ x*(x - 1) = (2*x + 4) ≡
≡ x*(x - 1) - (2*x + 4) = 0 ≡
≡ (x + 1)*(x - 4) = 0 ≡
≡ (x = - 1) oppure (x = 4)
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VERIFICHE
Nessuno dei due valori è fra quelli da escludere.
* (log(1/3, 2*(- 1) + 4) + log(3, - 1) + log(3, - 1 - 1))/log(3, - 1/2) =
= 2*π/(π + i*ln(2)) != 0 ≡ non accettabile
* (log(1/3, 2*4 + 4) + log(3, 4) + log(3, 4 - 1))/log(3, 4/2) =
= 0 ≡ accettabile