equazione irrazionali

elevi ambo i m..bri al quadrato :

2x^2+(8x+1)^2 = 56x^2+13x+5 

2x^2+64x^2+16x+1 = 56x^2+13x+5 

10x^2+3x-4 = 0

-10x^2-3x+4 = 0

x = (3±√3^2+160)/-20 = (3±13)/-20 = 1/2 ; -4/5

Le due radici quadrate si eguagliano se e solo se si eguagliano i radicandi.
L'eguaglianza dei radicandi è una normale equazione di secondo grado che si risolve come tutte le altre: riduzione a forma normale canonica monica e applicazione della procedura di Bramegupta (o della sua formula, se la si rammenta, applicabile già alla semplice forma normale canonica).
Alla fine è bene verificare sull'equazione originale.
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* √(2*x^2 + (8*x + 1)^2) = √(56*x^2 + 13*x + 5) ≡
≡ 2*x^2 + (8*x + 1)^2 = 56*x^2 + 13*x + 5 ≡
≡ 2*x^2 + 64*x^2 + 16*x + 1 - (56*x^2 + 13*x + 5) = 0 ≡
≡ 2*x^2 + 64*x^2 + 16*x + 1 - 56*x^2 - 13*x - 5 = 0 ≡
≡ 2*x^2 + 64*x^2 - 56*x^2 + 16*x - 13*x + 1 - 5 = 0 ≡
≡ 10*x^2 + 3*x - 4 = 0
qui si può già applicare la formula.
Altrimenti
* 10*x^2 + 3*x - 4 = 0 ≡
≡ x^2 + (3/10)*x - 2/5 = 0 ≡
≡ (x + 3/20)^2 - (3/20)^2 - 2/5 = 0 ≡
≡ (x + 3/20)^2 - 169/400 = 0 ≡
≡ (x + 3/20)^2 - (13/20)^2 = 0 ≡
≡ (x + 3/20 + 13/20)*(x + 3/20 - 13/20) = 0 ≡
≡ (x + 4/5)*(x - 1/2) = 0 ≡
≡ (x = - 4/5) oppure (x = 1/2)
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VERIFICHE
* √(2*(- 4/5)^2 + (8*(- 4/5) + 1)^2) = √(56*(- 4/5)^2 + 13*(- 4/5) + 5) ≡
≡ √761/5 = √761/5 ≡ VERO
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* √(2*(1/2)^2 + (8*(1/2) + 1)^2) = √(56*(1/2)^2 + 13*(1/2) + 5) ≡
≡ √102/2 = √102/2 ≡ VERO

@angela_chen

Ciao e ciao a 

@remanzini_rinaldo

e

@exprof

L'operazione di elevamento al quadrato...  😉 non è una operazione lecita da un punto di vista matematico perché non è prevista nei principi di equivalenza delle equazioni. Ciò però è possibile si si ha la certezza che i due radicandi ( in questo caso) siano delle quantità variabili ma non negative ( questa operazione la facciamo tante volte ad esempio in geometria analitica, parlando di distanze). Quindi possiamo farla i questo caso perché:

2·x^2 + (8·x + 1)^2 > 0 sempre perché il valore minore è 1>0

56·x^2 + 13·x + 5 > 0 come sopra.

Quindi ritornando a noi è doveroso, se non si fa questa operazione di accertamento, svolgere alla fine del procedimento di innalzamento al quadrato una verifica come l'ha svolta il collega e amico @exprof perché questo modo di procedere comporta spesso delle radici dette estranee  proprio perché non c'entrano con l'equazione irrazionale.

Quindi, assodato che le radici ottenute in questo modo siano:

x = - 4/5 ∨ x = 1/2

dobbiamo fare due verifiche sull'equazione di partenza:

VERIFICA 1

1°M=√(2·(- 4/5)^2 + (8·(- 4/5) + 1)^2)=√(761/25)=√761/5

2°M=√(56·(- 4/5)^2 + 13·(- 4/5) + 5)=√761/5

VERIFICA 2:

1° M= √(2·(1/2)^2 + (8·(1/2) + 1)^2)=√102/2

2°M=√(56·(1/2)^2 + 13·(1/2) + 5)=√102/2

Non ci sono radici estranee!