[Risolto] equazione irrazionale

@angela_chen

Ciao

√(6·x + 96·a^2) = 3·a + √(5·x - 3·a^2) con a ≥ 0

equazione irrazionale parametrica in a con 2 radicali quadratici

1° elevamento al quadrato:

6·x + 96·a^2 = 6·a·√(5·x - 3·a^2) + 5·x + 6·a^2

96·a^2 + 6·x - 6·a^2 - 5·x = 6·a·√(5·x - 3·a^2)

x + 90·a^2 = 6·a·√(5·x - 3·a^2)

2° elevamento al quadrato:

(x + 90·a^2)^2 = 36·a^2·(5·x - 3·a^2)

x^2 + 180·a^2·x + 8100·a^4 = 36·a^2·(5·x - 3·a^2)

x^2 + 180·a^2·x + 8100·a^4 = 180·a^2·x - 108·a^4

x^2 + 8208·a^4 = 0

essendo  a ≥ 0

Se risulta a >0 ----------> EQUAZIONE IMPOSSIBILE

Se risulta a =0 --------->x=0

* (a >= 0) & (√(6*x + 96*a^2) = 3*a + √(5*x - 3*a^2)) ≡
≡ (a = 0) & (x = 0) oppure (a > 0) & (x = ± i*(12*√57)*|a^2|)
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INFATTI
1) (a = 0) & (√(6*x + 96*0^2) = 3*0 + √(5*x - 3*0^2)) ≡
≡ (a = 0) & (√(6*x) = √(5*x)) ≡
≡ (a = 0) & (x = 0)
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2) (a > 0) & (√(6*x + 96*a^2) = 3*a + √(5*x - 3*a^2)) ≡
≡ (a > 0) & (6*x + 96*a^2 = (3*a + √(5*x - 3*a^2))^2) ≡
≡ (a > 0) & (6*x + 96*a^2 = 5*x + 6*a^2 + 6*a*√(5*x - 3*a^2)) ≡
≡ (a > 0) & (√(5*x - 3*a^2) = x/(6*a) + 15*a) ≡
≡ (a > 0) & (5*x - 3*a^2 = (x/(6*a) + 15*a)^2) ≡
≡ (a > 0) & ((x/(6*a) + 15*a)^2 - (5*x - 3*a^2) = 0) ≡
≡ (a > 0) & ((8208*a^4 + x^2)/(36*a^2) = 0) ≡
≡ (a > 0) & (8208*a^4 + x^2 = 0) ≡
≡ (a > 0) & (x = ± i*(12*√57)*|a^2|)
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3) VERIFICHE anti spurie, se introdotte dalle quadrature.
* f(x, a) = √(6*x + 96*a^2) - √(5*x - 3*a^2) - 3*a
3) f(0, 0) = √(6*0 + 96*0^2) - √(5*0 - 3*0^2) - 3*0 = 0 OK
3) f(- i*(12*√57)*|a^2|, a) = 3*|a| - 3*a = 0 OK
3) f(+ i*(12*√57)*|a^2|, a) = 3*|a| - 3*a = 0 OK