Equazione irrazionale

L'equazione
* √(3*x + 13) - √(3*(x + 2)) = √(x + 3) - √x
consiste di quattro termini, ciascuno dei quali è la radice quadrata di un'espressione lineare in x.
Per risolverla occorre procedere per successive quadrature, ciascuna delle quali può però introdurre radici spurie (tali da non soddisfare all'equazione originale).
Pertanto, calcolata la soluzione, si devono selezionare tutte e sole le radici per cui si abbia
* f(x) = √(3*x + 13) - √(3*(x + 2)) - √(x + 3) + √x = 0
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QUADRATURE
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A) (√(3*x + 13) - √(3*(x + 2)))^2 = (√(x + 3) - √x)^2 ≡
≡ 6*x + 19 - 2*√(9*x^2 + 57*x + 78) = 2*x + 3 - 2*√(x^2 + 3*x) ≡
≡ 6*x + 19 - (2*x + 3) = 2*√(9*x^2 + 57*x + 78) - 2*√(x^2 + 3*x) ≡
≡ √(9*x^2 + 57*x + 78) - √(x^2 + 3*x) = 2*(x + 4)
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B) (√(9*x^2 + 57*x + 78) - √(x^2 + 3*x))^2 = (2*(x + 4))^2 ≡
≡ 10*x^2 + 60*x + 78 - 2*√(9*x^4 + 84*x^3 + 249*x^2 + 234*x) = 4*x^2 + 32*x + 64 ≡
≡ √(9*x^4 + 84*x^3 + 249*x^2 + 234*x) = 3*x^2 + 14*x + 7
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C) (√(9*x^4 + 84*x^3 + 249*x^2 + 234*x))^2 = (3*x^2 + 14*x + 7)^2 ≡
≡ 9*x^4 + 84*x^3 + 249*x^2 + 234*x = 9*x^4 + 84*x^3 + 238*x^2 + 196*x + 49 ≡
≡ 249*x^2 + 234*x = 238*x^2 + 196*x + 49 ≡
≡ 249*x^2 + 234*x - (238*x^2 + 196*x + 49) = 0 ≡
≡ 11*x^2 + 38*x - 49 = 0 ≡
≡ 11*(x + 49/11)*(x - 1) = 0 ≡
≡ (x = - 49/11) oppure (x = 1)
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VERIFICA ANTI SPURIE
* f(- 49/11) = √(3*x + 13) - √(3*(x + 2)) - √(x + 3) + √x = - i*4/√11 != 0
* f(1) = √(3*1 + 13) - √(3*(1 + 2)) - √(1 + 3) + √1 = 0
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RISULTATO
L'equazione
* √(3*x + 13) - √(3*(x + 2)) = √(x + 3) - √x
ha l'unica radice
* x = 1