[Risolto] Equazione Goniometrica Tangente

Werner?
Limitatamente al primo giro (0 <= x < 2*π) e trascurando la condizione d'esistenza si ha
* (tg(2*x) - cotg(3*x/2) = 0) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (tg(2*x)*tg(3*x/2) = 1) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (sin(2*x)*sin(3*x/2)/(cos(2*x)*cos(3*x/2)) = 1) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (((cos((2 - 3/2)*x) - cos((2 - 3/2)*x))/2)/((cos((2 - 3/2)*x) + cos((2 - 3/2)*x))/2) = 1) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ ((cos(x/2) - cos(7*x/2))/(cos(x/2) + cos(7*x/2)) = 1) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ ((cos(x/2) - cos(7*x/2)) - (cos(x/2) + cos(7*x/2)) = 0) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (cos(7*x/2) = 0) & (0 <= x < 2*π)
Con
* u = 7*x/2 ≡ x = 2*u/7
si ha
* (0 <= 2*u/7 < 2*π) ≡ (0 <= u < 7*π)
* (cos(7*x/2) = 0) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (cos(u) = 0) & (0 <= u < 7*π) ≡
≡ (u = (2*k + 1)*π/2) & (k ∈ [0, 4]) ≡
≡ (7*x/2 = (2*k + 1)*π/2) & (k ∈ [0, 4]) ≡
≡ (x ∈ {((2*k + 1)/7)*π}) & (k ∈ [0, 4])
da queste cinque radici vanno escluse le eventuali incompatibili con la condizione d'esistenza.
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* tg(2*x) è definita per x diversa da un numero dispari di π/4
* cotg(3*x/2) è definita per x diversa da un numero pari di π/3
quindi
* tg(2*x) - cotg(3*x/2) è definita per x ∉ {(2*k + 1)*π/4, (2*k)*π/3}, k ∈ Z
e le radici
* x ∈ {(1/7)*π, (3/7)*π, (5/7)*π, (7/7)*π, (9/7)*π}
risultano compatibili tutt'e cinque.
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VERIFICA nel paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5Btg%282*x%29-cotg%283*x%2F2%29%2C%7Bx%2C%7B%281%2F7%29*%CF%80%2C%283%2F7%29*%CF%80%2C%285%2F7%29*%CF%80%2C%287%2F7%29*%CF%80%2C%289%2F7%29*%CF%80%7D%7D%5D

TAN(2·x) - COT(3/2·x) = 0

TAN(α) - COT(β) = 0

(SIN(α)·SIN(β) - COS(α)·COS(β))/(COS(α)·SIN(β)) = 0

Quindi:

SIN(α)·SIN(β) - COS(α)·COS(β) = 0

che equivale a:

- COS(α + β) = 0----> COS(α + β) = 0

COS(2·x + 3/2·x) = 0----> COS(7·x/2) = 0

7/2·x = pi/2 + k·pi----> x = 2·pi·k/7 + pi/7

Sicuramente una classe di soluzioni si può ottenere osservando che

tg (2x) = cotg (3/2 x)

tg 2x = tg (pi/2 - 3/2 x)

2x = pi/2 - 3/2 x + k pi

2x + 3/2 x = pi/2 + k pi

7x = pi + 2k pi

x = pi/7 + 2 k pi