Equazione goniometrica. Salve, non mi risulta questa equazione, potete aiutarmi. Grazie

@dan2004 

Ciao.

Senza togliere nulla al problema posto riscrivo:

√3·SIN(α) + COS(α) = √3

Faccio quindi riferimento alla circonferenza goniometrica, ponendo:

{COS(α) = x

{SIN(α) = y

Quindi scrivo il sistema:

{√3·y + x = √3

{x^2 + y^2 = 1

che risolvo per sostituzione:

x = √3 - √3·y

(√3 - √3·y)^2 + y^2 = 1-------> 4·y^2 - 6·y + 2 = 0-----> 2·y^2 - 3·y + 1 = 0

(y - 1)·(2·y - 1) = 0----> y = 1/2 ∨ y = 1

per y=1/2: x = √3 - √3·(1/2)----> x = √3/2

per y=1: x = √3 - √3·1----> x = 0

Quindi:

{SIN(x) = 1/2

{COS(x) = √3/2

che fornisce: [x = pi/6]

{SIN(x) = 1

{COS(x) = 0

che fornisce: [x = pi/2]

Tenendo conto della periodicità delle due funzioni:

x = pi/6+2*k*pi v x = pi/2 +2*k*pi

N.B. ho ripreso l'incognita x del problema originale

@dan2004

 Fai attenzione sono due fogli, sono numerati quindi non puoi sbagliare! 

@dan2004 

Qui la strategia più semplice é l'angolo aggiunto. Dividi per 2

( Nota : rad(rad(3)^2 + 1^2) = rad(3+1) = rad(4) = 2 )

rad(3)/2 sin x + 1/2 cos x = rad(3)/2

se lo riscrivi come

cos TT/6 sin x + sin TT/6 cos x = sin TT/3

riconosci il seno di una somma

sin ( x + TT/6 ) = sin TT/3

due angoli hanno uguale seno se

a) sono uguali

x + TT/6 = TT/3 + 2 k TT  =>  x = TT/6 + 2 k TT     con k in Z ;

b) sono supplementari

x + TT/6 = TT - TT/3 + 2 k TT

x = 2/3 TT - TT/6 + 2 k TT

x = TT/2 + 2 k TT    con k in Z.

Una soluzione si trova per ispezione
* (√3)*sin(π/2) + cos(π/2) = √3
l'altra si ricava particolarizzando l'equazione parametrica
* sin(x) + k*cos(x) = 1 ≡ x = 2*(arctg((1 - k)/(k + 1)) + n*π)
da cui
* (√3)*sin(x) + cos(x) = √3 ≡
≡ sin(x) + (1/√3)*cos(x) = 1 ≡
≡ x = 2*(arctg((1 - 1/√3)/(1/√3 + 1)) + n*π) =
= 2*(arctg(2 - √3) + n*π) =
= 2*(π/12 + n*π) =
= π/12 + 2*π*n