Ciao.
Senza togliere nulla al problema posto riscrivo:
√3·SIN(α) + COS(α) = √3
Faccio quindi riferimento alla circonferenza goniometrica, ponendo:
{COS(α) = x
{SIN(α) = y
Quindi scrivo il sistema:
{√3·y + x = √3
{x^2 + y^2 = 1
che risolvo per sostituzione:
x = √3 - √3·y
(√3 - √3·y)^2 + y^2 = 1-------> 4·y^2 - 6·y + 2 = 0-----> 2·y^2 - 3·y + 1 = 0
(y - 1)·(2·y - 1) = 0----> y = 1/2 ∨ y = 1
per y=1/2: x = √3 - √3·(1/2)----> x = √3/2
per y=1: x = √3 - √3·1----> x = 0
Quindi:
{SIN(x) = 1/2
{COS(x) = √3/2
che fornisce: [x = pi/6]
{SIN(x) = 1
{COS(x) = 0
che fornisce: [x = pi/2]
Tenendo conto della periodicità delle due funzioni:
x = pi/6+2*k*pi v x = pi/2 +2*k*pi
N.B. ho ripreso l'incognita x del problema originale
Qui la strategia più semplice é l'angolo aggiunto. Dividi per 2
( Nota : rad(rad(3)^2 + 1^2) = rad(3+1) = rad(4) = 2 )
rad(3)/2 sin x + 1/2 cos x = rad(3)/2
se lo riscrivi come
cos TT/6 sin x + sin TT/6 cos x = sin TT/3
riconosci il seno di una somma
sin ( x + TT/6 ) = sin TT/3
due angoli hanno uguale seno se
a) sono uguali
x + TT/6 = TT/3 + 2 k TT => x = TT/6 + 2 k TT con k in Z ;
b) sono supplementari
x + TT/6 = TT - TT/3 + 2 k TT
x = 2/3 TT - TT/6 + 2 k TT
x = TT/2 + 2 k TT con k in Z.
Una soluzione si trova per ispezione
* (√3)*sin(π/2) + cos(π/2) = √3
l'altra si ricava particolarizzando l'equazione parametrica
* sin(x) + k*cos(x) = 1 ≡ x = 2*(arctg((1 - k)/(k + 1)) + n*π)
da cui
* (√3)*sin(x) + cos(x) = √3 ≡
≡ sin(x) + (1/√3)*cos(x) = 1 ≡
≡ x = 2*(arctg((1 - 1/√3)/(1/√3 + 1)) + n*π) =
= 2*(arctg(2 - √3) + n*π) =
= 2*(π/12 + n*π) =
= π/12 + 2*π*n