Equazione goniometrica in seno e coseno

@Giuseppe23

Da cui:

cos(x)= 0 - - > x = pi/2 + k*pi

cos(x)= radice (3) /2 - - > x = +/- pi/6 + 2k*pi

N° 372

Senza togliere niente al testo scriviamo:

2·SIN(α)^4 - 4·SIN(α)^2 = √3·COS(α)^3 - 2

ponendo:

{SIN(α) = y

{COS(α) = x

e facendo riferimento alla circonferenza goniometrica per cui si ha:

x^2 + y^2 = 1

Scriviamo quindi il sistema:

{2·y^4 - 4·y^2 = √3·x^3 - 2

{x^2 + y^2 = 1

che risolviamo con la sostituzione:

2·y^2·(y^2 - 2) = √3·x^3 - 2------> 2·(x^2 + 1)·(x^2 - 1) - √3·x^3 + 2 = 0

2·x^4 - √3·x^3 = 0----> x^3·(2·x - √3) = 0

quindi: x = √3/2 ∨ x = 0

per x = √3/2:       (√3/2)^2 + y^2 = 1-----> y = - 1/2 ∨ y = 1/2

per x = 0:              0^2 + y^2 = 1-----------> y = -1 ∨ y = 1

Quindi abbiamo 4 punti in corrispondenza di un angolo giro:

{COS(α) = √3/2

{SIN(α) = - 1/2

α = - pi/6

{COS(α) = √3/2

{SIN(α) = 1/2

α = pi/6

{COS(α) = 0

{SIN(α) = -1

α = - pi/2

{COS(α) = 0

{SIN(α) = 1

α = pi/2

Quindi soluzioni: α = pi/2+k*pi  v    α =+/- pi/6+2 k*pi

2 sin^4 (x) - 4 sin^2(x) = rad(3) cos^3(x) - 2

Poni sin^2(x) = (1 - cos^2(x))

e sin^4(x) = (1 - cos^2(x))^2

Ti verrà una equazione algebrica in solo coseno.

Posto cos x = c

2(1 - c^2)^2 - 4( 1 - c^2 ) = rad(3) c^3 - 2

2(1 - 2c^2 + c^4) - 4 + 4 c^2 - rad(3) c^3 + 2 = 0

2 c^4 - rad(3) c^3 - 4c^2 + 4 c^2 + 2 - 4 + 2 = 0

2 c^4 - rad(3) c^3 = 0

c^3 (2c - rad(3) ) = 0

c = 0 => cos x = 0 => x = TT/2 + k TT

c = rad(3)/2 => cos x = rad(3)/2 => x = +- TT/6 + 2 k TT

k in Z