di nuovo.
Riscrivo:
SIN(α) + 3·COS(α) = 2 + √2·COS(α + pi/4)
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analizziamo l'ultimo termine:
COS(α + pi/4) = COS(α)·COS(pi/4) - SIN(α)·SIN(pi/4)
COS(α + pi/4) = COS(α)·(√2/2) - SIN(α)·(√2/2)
e quindi:
√2·COS(α + pi/4) = COS(α) - SIN(α)
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SIN(α) + 3·COS(α) = 2 + COS(α) - SIN(α)
quindi:
2·SIN(α) + 2·COS(α) = 2
SIN(α) + COS(α) = 1
Pongo:
{SIN(α) = y
{COS(α) = x
quindi faccio riferimento alla circonferenza goniometrica e risolvo il sistema:
{x^2 + y^2 = 1
{y + x = 1
ottengo:
[x = 0 ∧ y = 1, x = 1 ∧ y = 0]
quindi:
{COS(α) = 0
{SIN(α) = 1
α = pi/2-----> α = pi/2 +2kpi
{COS(α) = 1
{SIN(α) = 0
α = 0---------> α = 2kpi
Sviluppando secondo la formula di addizione del seno e sostituendo i valori
sin x + 3 cos x = 2 + rad(2) [ cos x cos pi/4 - sin x sin pi/4 ]
sin x + 3 cos x = 2 + rad(2) * [ rad(2)/2 cos x - rad(2)/2 sin x ]
sin x + 3 cos x = 2 + rad(2)*rad(2)/2 ( cos x - sin x )
sin x + 3 cos x = 2 + cos x - sin x
sin x + sin x + 3 cos x - cos x = 2
2 sin x + 2 cos x = 2
sin x + cos x = 1
Questa é una equazione lineare e ha una soluzione intuitiva
rad(2)/2 cos x + rad(2)/2 sin x = rad(2)/2
che significa anche
sin (x + pi/4) = sin pi/4
Ora se due angoli hanno lo stesso seno sono uguali
x + pi/4 = pi/4 + 2 k pi => x = 2 k pi, k in Z
oppure supplementari
x + pi/4 = pi - pi/4 + 2 k pi => x = pi/2 + 2 k pi, k in Z