Risolvere la seguente equazione goniometrica non graficamente ma algebricamente. Ho provato a farlo in ogni modo ma non viene, trovo facili quelle più difficili del libro ma questa non viene in nessun modo
N.349
Risolvere la seguente equazione goniometrica non graficamente ma algebricamente. Ho provato a farlo in ogni modo ma non viene, trovo facili quelle più difficili del libro ma questa non viene in nessun modo
N.349
cos (2x) - 2 cos ( x + 3/4 pi ) = 0
cos^2(x) - sin^2(x) - 2 * [ cos x cos 3/4 pi - sin x sin 3/4 pi ] = 0
(cos x + sin x) ( cos x - sin x ) - 2 [ - rad(2)/2 cos x - rad(2)/2 sin x ] = 0
(cos x + sin x)( cos x - sin x ) + rad(2) * (cos x + sin x) = 0
(cos x + sin x) ( cos x - sin x + rad(2)) = 0
sono due equazioni lineari
la prima dà tg x = -1 e quindi x = 3/4 pi + k pi
sin x - cos x = rad(2)
rad(2)/2 sin x - rad(2)/2 cos x = 1
sin (x - pi/4) = sin pi/2
e questo può significare soltanto ( essendo il supplementare di pi/2 se stesso )
x - pi/4 = pi/2 + 2 k pi
x = 3/4 pi + 2 k pi
già inclusa nelle soluzioni precedenti.
COS(2·x) - 2·COS(x + 3/4·pi) = 0
COS(x + 3/4·pi) = COS(x)·COS(3/4·pi) - SIN(x)·SIN(3/4·pi)=
= - √2·COS(x)/2 - √2·SIN(x)/2
COS(x)^2 - SIN(x)^2 - 2·(- √2·COS(x)/2 - √2·SIN(x)/2) = 0
2·COS(x)^2 + √2·COS(x) + √2·SIN(x) - 1 = 0
{COS(x) = Χ
{SIN(x) = Υ
con Υ^2 + Χ^2 = 1
Quindi risolvo:
2·Χ^2 + √2·Χ + √2·Υ - 1 = 0
{Υ = - √2·Χ^2 - Χ + √2/2
{Υ^2 + Χ^2 = 1
ed ottengo:
[Υ = √2/2 ∧ Χ = - √2/2, Υ = - √2/2 ∧ Χ = √2/2]
{SIN(x) = √2/2
{COS(x) = - √2/2
quindi: [x = 3·pi/4]
{SIN(x) = - √2/2
{COS(x) = √2/2
quindi: [x = - pi/4]
Quindi soluzione : x = - pi/4 + k·pi