Equazione goniometrica

cos (2x) - 2 cos ( x + 3/4 pi ) = 0

cos^2(x) - sin^2(x) - 2 * [ cos x cos 3/4 pi - sin x sin 3/4 pi ] = 0

(cos x + sin x) ( cos x - sin x ) - 2 [ - rad(2)/2 cos x - rad(2)/2 sin x ] = 0

(cos x + sin x)( cos x - sin x ) + rad(2) * (cos x + sin x) = 0

(cos x + sin x) ( cos x - sin x + rad(2)) = 0

sono due equazioni lineari

la prima dà tg x = -1 e quindi x = 3/4 pi + k pi

sin x - cos x = rad(2)

rad(2)/2 sin x - rad(2)/2 cos x = 1

sin (x - pi/4) = sin pi/2

e questo può significare soltanto ( essendo il supplementare di pi/2 se stesso )

x - pi/4 = pi/2 + 2 k pi

x = 3/4 pi + 2 k pi

già inclusa nelle soluzioni precedenti.

COS(2·x) - 2·COS(x + 3/4·pi) = 0

COS(x + 3/4·pi) = COS(x)·COS(3/4·pi) - SIN(x)·SIN(3/4·pi)=

= - √2·COS(x)/2 - √2·SIN(x)/2

COS(x)^2 - SIN(x)^2 - 2·(- √2·COS(x)/2 - √2·SIN(x)/2) = 0

2·COS(x)^2 + √2·COS(x) + √2·SIN(x) - 1 = 0

{COS(x) = Χ

{SIN(x) = Υ

con Υ^2 + Χ^2 = 1

Quindi risolvo:

2·Χ^2 + √2·Χ + √2·Υ - 1 = 0

{Υ = - √2·Χ^2 - Χ + √2/2

{Υ^2 + Χ^2 = 1

ed ottengo:

[Υ = √2/2 ∧ Χ = - √2/2, Υ = - √2/2 ∧ Χ = √2/2]

{SIN(x) = √2/2

{COS(x) = - √2/2

quindi: [x = 3·pi/4]

{SIN(x) = - √2/2

{COS(x) = √2/2

quindi: [x = - pi/4]

Quindi soluzione : x = - pi/4 + k·pi