[Risolto] Equazione Goniometrica

dall'identità

$ cos \alpha = sin (\frac{\pi}{2}-\alpha) $

segue che

$ cos (x + \frac{\pi}{3}) = sin (\frac{\pi}{2}-x - \frac{\pi}{3}) = sin (\frac{\pi}{6}-x) $

per cui l'equazione data può essere riscritta come

$ sin(2x) = sin (\frac{\pi}{6}-x) $

Sappiamo che

$ sin \alpha = sin \beta \; \iff \; \alpha = \beta +2k\pi \; \lor \; \alpha = \pi - \beta +2k\pi; \qquad k \in \mathbb{Z} $

abbiamo così due casi da trattare

1° caso

$ \begin{aligned} sin(2x) = sin(\frac{\pi}{6}-x) \; &\iff \; 2x =  \frac{\pi}{6}-x + 2k\pi \\ &\iff \; 3x =  \frac{\pi}{6} 2k\pi \\ &\iff \; x =  \frac{\pi}{18} + \frac{2}{3}k\pi \end{aligned} $

2° caso

$ \begin{aligned} sin(2x) = sin(\frac{\pi}{6}-x) \; &\iff \; 2x = \pi - \frac{\pi}{6}+x + 2k\pi \\ &\iff \; x =  \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \end{aligned} $