dalla $ cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ ricaviamo
$ - cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = - sin(\frac{\pi}{2} - \alpha - \frac{\pi}{4}) = - sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $
La nostra equazione diventa
$ sin(2x) = - sin(\frac{\pi}{4} - x) = sin ( x - \frac{\pi}{4}) $
Sappiamo che
$ sin\alpha = sin\beta \; \iff \; \alpha = \beta + 2k\pi \; \lor \; \alpha = \pi - \beta + 2k\pi; \qquad k \in \mathbb{Z} $
analizziamo i due casi
1° caso
$ \begin{aligned} sin(2x) = sin(x -\frac{\pi}{4} ) \; &\iff \; 2x = x -\frac{\pi}{4} + 2k\pi; \\ &\iff \; x = -\frac{\pi}{4}+ 2k\pi; \end{aligned} \qquad k \in \mathbb{Z}$
2° caso
$ \begin{aligned} sin(2x) = sin(x-\frac{\pi}{4}) \; &\iff \; 2x = \pi - x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi; \\ &\iff \; 3x = \frac{5\pi}{4}+ 2k\pi;\\ &\iff \; x = \frac{5\pi}{12}+ \frac{2}{3}k\pi \end{aligned} \qquad k \in \mathbb{Z} $