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[Risolto] Equazione Goniometrica

  

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dalla $ cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ ricaviamo

$ - cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = - sin(\frac{\pi}{2} -  \alpha - \frac{\pi}{4}) = - sin(\frac{\pi}{4} -  \alpha) $

La nostra equazione diventa

$ sin(2x) = - sin(\frac{\pi}{4} -  x) = sin ( x - \frac{\pi}{4}) $

Sappiamo che 

$ sin\alpha = sin\beta \; \iff \; \alpha = \beta + 2k\pi \; \lor \; \alpha = \pi - \beta + 2k\pi; \qquad k \in \mathbb{Z} $  

analizziamo i due casi

1° caso

$ \begin{aligned} sin(2x) = sin(x -\frac{\pi}{4} ) \; &\iff \; 2x = x -\frac{\pi}{4} + 2k\pi; \\ &\iff \; x = -\frac{\pi}{4}+ 2k\pi;  \end{aligned} \qquad k \in \mathbb{Z}$

2° caso

$ \begin{aligned} sin(2x) = sin(x-\frac{\pi}{4}) \; &\iff \; 2x = \pi - x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi; \\ &\iff \; 3x = \frac{5\pi}{4}+ 2k\pi;\\ &\iff \; x = \frac{5\pi}{12}+ \frac{2}{3}k\pi \end{aligned} \qquad k \in \mathbb{Z} $

 



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SOS Matematica

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