Equazione Goniometrica

Usiamo l'identità $ sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = cos \alpha$ per semplificare l'espressione. Otteniamo così

$ cos(-\frac{x}{2}) = cos(\frac{\pi}{5} - x)$

Ricordiamo che 

$ cos\alpha = cos\beta \; \iff \; \alpha = \pm \beta +2k\pi; \qquad k \in \mathbb{Z}$

applichiamola al nostro caso

$ cos(-\frac{x}{2}) = cos(\frac{\pi}{5} - x) \; \iff \; (-\frac{x}{2}) = \pm (\frac{\pi}{5} - x) +2k\pi; $

consideriamo i due casi separatamente

1° caso, +

$ \begin{aligned} cos(-\frac{x}{2}) = cos(\frac{\pi}{5} - x) \; &\iff \; (-\frac{x}{2}) = + (\frac{\pi}{5} - x) +2k\pi; \\ &\iff \; \frac{x}{2} = \frac{\pi}{5}  +2k\pi; \\ &\iff \; x = \frac{2\pi}{5}  +4k\pi; \end{aligned} $   

2° caso, -

$ \begin{aligned} cos(-\frac{x}{2}) = cos(\frac{\pi}{5} - x) \; &\iff \; (-\frac{x}{2}) = - (\frac{\pi}{5} - x) +2k\pi; \\ &\iff \; \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{5}  +2k\pi; \\ &\iff \; x = \frac{2\pi}{15}  +\frac{4k}{3}\pi; \end{aligned} $