[Risolto] Equazione goniometrica

@dedida

Ciao.

2/√(2 - SIN(x)) - √(SIN(x)) = √(2 + COS(pi/2 + x))

2/√(2 - SIN(x)) - √(SIN(x)) = √(2 - SIN(x))

2 - SIN(x) > 0 SEMPRE!

pongo: SIN(x) = t e moltiplico per √(2 - SIN(x)):

2 - √t·√(2 - t) = 2 - t

√t·√(2 - t) = t elevo al quadrato:

t·(2 - t) = t^2

t^2 - 2·t = - t^2

2·t^2 - 2·t = 0

2·t·(t - 1) = 0

t = 1 ∨ t = 0

SIN(x) = 1---------> x = pi/2 + 2·k·pi

SIN(x) = 0---------> x = k·pi

Verifica:

2/√(2 - SIN(pi)) - √(SIN(pi)) = √(2 + COS(pi/2 + pi))

√2 = √2 OK

2/√(2 - SIN(pi/2)) - √(SIN(pi/2)) = √(2 + COS(pi/2 + pi/2))

1 = 1 OK!

Ma è sempre la stessa solfa!
Non vale la pena di fare una domanda per ciascun esemplare dello zoo; ti converrebbe di più capire il metodo e applicarlo da te.
Con
* cos(π/2 + x) = - sin(x)
* sin(x) = u^2
si ha l'equazione
* 2/√(2 - sin(x)) - √(sin(x)) = √(2 + cos(π/2 + x)) ≡
≡ 2/√(2 - sin(x)) - √(sin(x)) = √(2 - sin(x)) ≡
≡ 2/√(2 - u^2) - u = √(2 - u^2)
definita reale per
* (sin(x) >= 0) & (2 - sin(x) > 0) ≡ 0 <= x <= π (a meno di 2*k*π, ovvio!)
cioè
* u^2 < 2
quindi
* (2/√(2 - u^2) - u = √(2 - u^2)) & (u^2 < 2) ≡
≡ (u = u^2/√(2 - u^2)) & (u^2 < 2) ≡
≡ (u = 0) oppure (u = 1) ≡
≡ (u^2 = 0) oppure (u^2 = 1) ≡
≡ (sin(x) = 0) oppure (sin(x) = 1)