Equazione Goniometrica

* 3*sin^2(x) - sin(x)*cos(x) - 2 = 0 ≡
≡ 3*sin^2(x) - 2 - sin(2*x)/2 = 0 ≡
≡ 1 - 3*cos^2(x) - sin(2*x)/2 = 0 ≡
≡ 1 - 3*(cos(2*x) + 1)/2 - sin(2*x)/2 = 0 ≡
≡ (- 3*cos(2*x) - 1)/2 - sin(2*x)/2 = 0 ≡
≡ sin(2*x) + 3*cos(2*x) + 1 = 0
Stante il periodo dimezzato (solo π, non 2*π), basta calcolare le radici in metà giro (- π/2 <= x < π/2).
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Con (u = 2*x) & (c = cos(u)) & (s = sin(u)) si ha
* sin(2*x) + 3*cos(2*x) + 1 = 0 ≡
≡ (s + 3*c + 1 = 0) & (c^2 + s^2 = 1) ≡
≡ (c = - 3/5) & (s = 4/5) oppure (c = 0) & (s = - 1) ≡
≡ (cos(u) = - 3/5) & (sin(u) = 4/5) oppure (cos(u) = 0) & (sin(u) = - 1) ≡
≡ (u = 2*arctg(2)) oppure (u = - π/2) ≡
≡ (x = arctg(2) ~= 63° 26' 6'') oppure (x = - π/4 = - 45°)
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Volendo reintrodurre la periodicità si ha
* 3*sin^2(x) - sin(x)*cos(x) - 2 = 0 ≡
≡ ((x = k*π + arctg(2)) oppure (x = k*π - π/4)) & (k ∈ Z)

3·SIN(α)^2 - SIN(α)·COS(α) - 2 = 0

pongo:

{SIN(α) = y

{COS(α) = x

Quindi risolvo il sistema:

{3·y^2 - y·x - 2 = 0

{x^2 + y^2 = 1

Procedo con la sostituzione:

x = (3·y^2 - 2)/y (dalla prima)

((3·y^2 - 2)/y)^2 + y^2 = 1---> (3·y^2 - 2)^2 + y^4 = y^2

y ≠ 0

10·y^4 - 12·y^2 - y^2 + 4 = 0

(2·y^2 - 1)·(5·y^2 - 4) = 0

y = - 2·√5/5 ∨ y = 2·√5/5 ∨ y = - √2/2 ∨ y = √2/2

Quindi la soluzione del sistema:

[x = √2/2 ∧ y = - √2/2, x = - √2/2 ∧ y = √2/2, x = √5/5 ∧ y = 2·√5/5, x = - √5/5 ∧ y = - 2·√5/5]

{COS(α) = √2/2

{SIN(α) = - √2/2

fornisce: α = - pi/4

{COS(α) = - √2/2

{SIN(α) = √2/2

fornisce: α = 3·pi/4

{COS(α) = √5/5

{SIN(α) = 2·√5/5

fornisce: α = ATAN(1/3) + pi/4

{COS(α) = - √5/5

{SIN(α) = - 2·√5/5

fornisce: [α = ATAN(1/3) - 3·pi/4 , α = ATAN(1/3) + 5·pi/4]