Equazione goniometrica

parto dal riquadro rosso che ho posto sul tuo svolgimento corretto fin lì ...

(cosx)² = 0 ---> cosx*cosx =0 ---> quindi cosx = 0 due volte!!! {o come si dice due zeri l'uno sull'altro} ora cosx è uguale a zero per x= + pi/2 + 2kpi ma anche per x = -pi/2 + 2kpi

ora pi/2 -(-pi/2) = pi cioè le soluzioni pi/2 e -pi/2 distano di pi per cui x = pi/2 + k*pi {oppure x=-pi/2 + kpi} le include entrambe.

cos²x = 1/2

cosx = sqrt2/2    e {vale unione o OR e non AND}  cosx = -sqrt2/2  cioè

x = ± pi/4 + 2kpi       OR        x= ±3pi/4 + 2kpi

e come prima 3pi/4 - (+pi/4) = pi/2    e     -3pi/4 -(-pi/4) = -pi/2 pertanto se scriviamo:

x = pi/4 + k*pi/2 {oppure -pi/4 + k*pi/2} le includiamo tutte!

p.s.

in "alternate form" trovi    cosx*cos(2x) = 0 

di soluzioni cosx = 0  ---> x = ± pi/2 + 2kpi

cos(2x) = 0 ---> 2x = ± pi/2 + 2kpi --->  x = ±pi/4+ kpi

che coincidono con le precedenti

per evitare "nostre perdite di tempo" è meglio mettere i risultati del testo """prima"""!

... e non """dopo""" nei commenti ...

<

non capisco perché nella soluzione del libro da cosx= ± radice di 2/2 otteniamo x=π/4+kπ/2

<

...................

in italiano quando dico gli uni e gli altri  e ha il valore di OR 

quando dico "ciò si verifica se succede questo e quello" ha il valore di AND o intersezione ... perciò va fatta attenzione.

normalmente

  OR <--->  o  (unione)

equivale a "almeno uno" {l'uno o l'altro o l'altro o...}

AND <----> e   (intersezione o prodotto logico)

equivale a "solo se tutte " si verificano

187) 2*cos^4(x) - cos^2(x) = 0 ≡
≡ 2*(cos^2(x) - 1/2)*cos^2(x) = 0 ≡
≡ (cos^2(x) = 1/2) oppure (cos^2(x) = 0) ≡
≡ (cos(x) = ± 1/√2) oppure (cos(x) = 0) ≡
≡ (cos(x) = - 1/√2) oppure (cos(x) = 0) oppure (cos(x) = 1/√2)
da qui in poi dovresti sapere che fare, vero?

2*cos^2 x * cos^2 x = cos^2 X

cos^2 x = 1/2

cos x = √2 /2 

x = π/4+kπ/2

@interstellar

Ciao. Nel tuo svolgimento ho notato 2 errori:

cos(x)=0—————-> x=pi/2+k*pi

In quanto il coseno si annulla in due punti del cerchio goniometrico.

cos(x)=+/- sqrt(2)/2——————> x= pi/4+ k*pi/2

in quanto il coseno acquista questi 2 valori in corrispondenza di 4 punti.

Cos(x) =0 ==> x=PI/2 + K*PI

Cos²(x) = 1/2 ==> cos(x) = +o- radice(2)/2,

                     ossia x=PI/4 + K * PI/2