Equazione fratta

L'equazione data è riportabile alla forma intera:

(x^2 + x - 2)·(x^2 - 4) = 0

ponendo innanzitutto le C.E. (o di accettabilità):

x^2 - 1 ≠ 0 ossia: x ≠ -1 ∧ x ≠ 1

Detto ciò, l'equazione di sopra ammette come soluzioni:

x = -2 ∨ x = 2 ∨ x = 1

Siccome l'ultima non è accettabile,(perché incompatibile con le C.E.) devi prendere come soluzione solo le prime due in grassetto

C.E. = $x^2-1\neq0$ -> $(x+1)(x-1)\neq0$ -> $x\neq-1$ e $x\neq1$

si scompongano i polinomi :

- $x^2+x-2$ è un trinomio speciale, si può scomporre anche con la regola di Ruffini, quindi $(x-1)(x+2)$ 

- $x^2-4=(x+2)(x-2)$ somma per differenza

riscrivendo l'espressione:

$(x-1)(x+2)/(x+1)(x-1)=0$

$(x+2)(x+2)(x-2)=0$

quindi le soluzioni saranno:

$x=-2$ soluzione accettabile 

$x=-2$ soluzione accettabile 

$x=2$ soluzione accettabile

quindi : $[(x=-2);(x=2)]$

Voglio sperare che il metodo "ragioniamoci su e vediamo di che si tratta" non sia fra quelli complicati, in seconda liceale; a me lo insegnò il Maestro Ciro Minerva (anni scolastici 1946/49), in terza elementare quando avevo meno di sette anni e mezzo.
Se andò bene per noi bambinetti non dovrebbe fare scandalo a voi quindicenni.
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Quest'esercizio chiede gli zeri di una funzione fratta
* f(x) = y = N(x)/D(x) = 0
che, in quanto frazione, ha senso se e solo se il denominatore non sia nullo ed è zero se e solo se lo sia il numeratore.
In termini dei valori di x, per avere le radici di f(x) = 0 si devono calcolare quelle di N(x) = 0 escludendo tutte quelle che siano anche radici di D(x) = 0.
Vale a dire che l'equazione fratta data equivale al sistema
* (equazione non fratta) & (condizione restrittiva) ≡
≡ (N(x) = 0) & (D(x) != 0)
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Avendo visto di che si tratta, si può guardare all'esercizio in esame
* f(x) = y = N(x)/D(x) = (x^2 + x - 2)*(x^2 - 4)/(x^2 - 1) = 0
con occhio tranquillo e disincantato che avvista subito qualche particolarità
* x^2 + x - 2 = (x + 2)*(x - 1)
* x^2 - 4 = (x + 2)*(x - 2)
* x^2 - 1 = (x + 1)*(x - 1)
quindi
* N(x) = ((x + 2)^2)*(x - 1)*(x - 2)
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Dopo di che la risoluzione è immediata, applicando la legge d'annullamento del prodotto e la differenza fra insiemi: due passaggi.
* (x^2 + x - 2)*(x^2 - 4)/(x^2 - 1) = 0 ≡
≡ (((x + 2)^2)*(x - 1)*(x - 2) = 0) & ((x + 1)*(x - 1) != 0) ≡
≡ (x ∈ {- 2, 1, 2}) & (x ∉ {- 1, 1}) ≡
≡ x ∈ {- 2, 2}