Equazione esponenziale 760 risolubile con logaritmi

E' relativamente semplice

3^(x+1)/2 * 7^(x-1) = 1/(49^x * 9^x)

separando le basi in prodotti si ha

3^(x+1)/2 * 3^(2x) = 7^(1-x)*7^(-2x)

3^(5/2 x + 1/2) = 7^(1 - 3x)

passiamo ai logaritmi naturali : applicando la proprietà dell'esponente

ln A^b = b ln A

a ln 3^(5/2 x + 1/2) = ln 7^(1 - 3x)

si ottiene

(5/2 x + 1/2) ln 3 = (1 - 3x) ln 7

5/2 x ln 3 + 3x ln 7 = ln 7 - 1/2 ln 3

moltiplicando per 2 e raccogliendo la x a sinistra :

(5 ln 3 + 6 ln 7) x = 2 ln 7 - ln 3

x = (2 ln 7 - ln 3)/(5 ln 3 + 6 ln 7).

Nella mia risposta di stamattina
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/79884/
ti dicevo che il problema principale di questa categoria di esercizi è quello di ridurre un'espressione con esponenziali in x alla forma minima
* B^x = C
da cui calcolare
* x = log(B, C) = ln(C)/ln(B)
---------------
Qui si tratta di
* B^f(x) = C^g(x)
ma valgono le stesse considerazioni e serve più o meno lo stesso numero di riscritture.
---------------
760) (3^((x + 1)/2))*7^(x - 1) = 1/((49^x)*9^x) ≡
≡ ((3*3^x)^(1/2))*7^x/7^1 = 1/((7^(2*x))*3^(2*x)) ≡
≡ ((7^(2*x))*3^(2*x))*((3*3^x)^(1/2))*7^x/7^1 = 1 ≡
≡ (((3*3^x)^(1/2))*3^(2*x))*(7^(2*x))*7^x/7^1 = 1 ≡
≡ (3^((5*x + 1)/2))*7^(3*x - 1) = 1 ≡
≡ 3^((5*x + 1)/2) = 7^(1 - 3*x) ≡
≡ log(3, 3^((5*x + 1)/2)) = log(3, 7^(1 - 3*x)) ≡
≡ (5*x + 1)/2 = (1 - 3*x)*log(3, 7)
che, con k = log(3, 7) ~= 271/153, pare una normalissima razionale di primo grado
* (5*x + 1)/2 = (1 - 3*x)*k ≡
≡ x = (2*k - 1)/(6*k + 5) ~=
~= (2*271/153 - 1)/(6*271/153 + 5) = 389/2391 ~= 0.16269
---------------
CONTROPROVA nel paragrafo "Real solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?key=&i=%283%5E%28%28x%2B1%29%2F2%29%29*7%5E%28x-1%29%3D1%2F%28%2849%5Ex%29*9%5Ex%29
clickando "Approximate form".