Equazione esponenziale

Ciao di nuovo.

√(4^x·2^x + √(8^x - 1)) ≤ √(2^(3·x + 1) - 1)

Hai 2 radici quadrate che potrebbero avere un radicando negativo e quindi lo devi escludere:

{8^x - 1 ≥ 0

{2^(3·x + 1) - 1 ≥ 0

Quindi:

{x ≥ 0

{x ≥ - 1/3

che fornisce soluzione: [x ≥ 0] di cui ne dovrai tenere conto!

Solo adesso eleviamo al quadrato:

2^(3·x) + √(8^x - 1) ≤ 2^(3·x + 1) - 1

√(8^x - 1) ≤ 2^(3·x + 1) - 1 - 2^(3·x)

√(8^x - 1) ≤ 2^(3·x) - 1

Eleviamo ancora al quadrato:

8^x - 1 ≤ (2^(3·x) - 1)^2

2^(3·x) ≤ 2^(6·x) - 2^(3·x + 1) + 2

Poniamo: 2^(3·x) = t ; 2^(6·x) = t^2

t ≤ t^2 - 2·t + 2

t^2 - 3·t + 2 ≥ 0

(t - 1)·(t - 2) ≥ 0

t ≤ 1 ∨ t ≥ 2

quindi:

2^(3·x) ≤ 1-------> x ≤ 0 

2^(3·x) ≥ 2-------> x ≥ 1/3

Quindi, per quanto detto sopra, la soluzione della disequazione proposta è:

x = 0 ∨ x ≥ 1/3

258
Le quadrature possono introdurre spurie, perciò occorre verificare alla fine.
Con
* u = 8^x
si ha
* √((4^x)*2^x + √(8^x - 1)) <= √(2^(3*x + 1) - 1) ≡
≡ √(8^x + √(8^x - 1)) <= √(2*8^x - 1) ≡
≡ √(u + √(u - 1)) <= √(2*u - 1) ≡
≡ √(u + √(u - 1)) = √(2*u - 1)
oppure
≡ √(u + √(u - 1)) < √(2*u - 1)
---------------
258a
* √(u + √(u - 1)) = √(2*u - 1) ≡
≡ u + √(u - 1) = 2*u - 1 ≡
≡ √(u - 1) = 2*u - 1 - u = u - 1 ≡
≡ u - 1 = (u - 1)^2 ≡
≡ (u - 1)^2 - (u - 1) = 0 ≡
≡ (u - 1 - 1)*(u - 1) = 0 ≡
≡ (u = 1) oppure (u = 2) ≡
≡ (8^x = 1) oppure (8^x = 2) ≡
≡ (x = 0) oppure (x = 1/3)
---------------
258b
Qui la diseguaglianza d'ordine impone radicandi non negativi
* (u - 1 >= 0) & (2*u - 1 >= 0) ≡ u >= 1 ≡ 8^x >= 1 ≡ x >= 0
quindi
* (√(u + √(u - 1)) < √(2*u - 1)) & (u >= 1) ≡
≡ (u + √(u - 1) < 2*u - 1) & (u >= 1) ≡
≡ (√(u - 1) < u - 1) & (u >= 1) ≡
≡ (u - 1 > 1) & (u >= 1) ≡
≡ u > 2 ≡
≡ 8^x > 2 ≡
≡ x > 1/3
------------------------------
258
* √((4^x)*2^x + √(8^x - 1)) <= √(2^(3*x + 1) - 1) ≡
≡ 258a oppure 258b ≡
≡ (x = 0) oppure (x = 1/3) oppure (x > 1/3) ≡
≡ (x = 0) oppure (x >= 1/3)
che è proprio il risultato atteso.

per le radici ci sono i dentisti 😉