Trova il campo di esistenza di questa equazione, risolvere nei modi che conosci. Spiega il perchè?
(x^2-9)^x=(x+3)^x
Trova il campo di esistenza di questa equazione, risolvere nei modi che conosci. Spiega il perchè?
(x^2-9)^x=(x+3)^x
Se x é reale
deve essere x + 3 > 0
x^2 - 9 > 0
ovvero x < - 3 V x > 3
Dovrebbe quindi essere x > 3 ma anche x = 0
é nel campo di esistenza (ed é pure soluzione)
perché essendo le basi non nulle le potenze valgono
entrambe 1 e quindi sono uguali.
► C.E. Nel campo dei numeri reali la base deve essere positiva, quindi:
Le due condizioni sono verificate se $ x \gt 3 $
► Risoluzione.
$ (x^2-9)^x = (x+3)^x $
$\left( \frac{x^2-9}{x+3} \right)^x = 1 $
$\left(x-3 \right)^x = 1 $
Applicando il logaritmo
$ ln \left( x-3 \right)^x = 0 $
$ x \cdot ln \left( x-3 \right) = 0 $
La soluzione x = 0 non soddisfa il C.E. rimane
$ ln \left( x-3 \right) = 0 \; ⇒ \; x-3 = 1 \; ⇒ \; x = 4$
Verifica. (16-9)⁴ = 7⁴ O.K.
Questa è l'unica soluzione reale.
nota. in ℤ le soluzioni sono (1, 2, 4) ma noi operiamo in ℝ.