Equazione esponenziale

Se x é reale

deve essere x + 3 > 0

x^2 - 9 > 0

ovvero x < - 3 V x > 3

Dovrebbe quindi essere x > 3 ma anche x = 0

é nel campo di esistenza (ed é pure soluzione)

perché essendo le basi non nulle le potenze valgono

entrambe 1 e quindi sono uguali.

► C.E. Nel campo dei numeri reali la base deve essere positiva, quindi:

1. $ x^2-9 \gt 0 \; ⇒ \; x \lt -3 \; \lor \; x \gt 3 $
2. $ x+3 \gt 0  \; ⇒ \; x \gt -3 $

Le due condizioni sono verificate se $ x \gt 3 $

► Risoluzione.

$ (x^2-9)^x = (x+3)^x $

$\left( \frac{x^2-9}{x+3} \right)^x = 1 $

$\left(x-3 \right)^x = 1 $

Applicando il logaritmo

$ ln \left( x-3 \right)^x = 0 $

$ x \cdot ln \left( x-3 \right) = 0 $

La soluzione x = 0 non soddisfa il C.E. rimane

$ ln \left( x-3 \right) = 0 \; ⇒ \; x-3 = 1 \; ⇒ \; x = 4$

Verifica. (16-9)⁴ = 7⁴ O.K.

Questa è l'unica soluzione reale.

nota. in ℤ le soluzioni sono (1, 2, 4) ma noi operiamo in ℝ.