[Risolto] Equazione ellisse

Perché sia un'ellisse occorre che risulti h > 0 e h - 1 > 0. Dal sistema si deduce h > 1. 

Osserviamo inoltre che a^2 = 1/h e b^2 = 1/h -1 

Poiché h > h - 1 =>  1/h < 1/(h-1) =>  a^2 < b^2 e i fuochi sono sull'asse y. 

a) Per soddisfare quanto richiesto deve essere c^2 = 1/2 ovvero 

b^2 - a^2 = 1/2 

1/(h-1) - 1/h = 1/2

(h - h + 1)/(h(h-1)) = 1/2

1/(h(h-1)) = 1/2

h^2 - h = 2

si può accettare solo la soluzione maggiore di 1

h^2 - 2h + h - 2 = 0

h(h - 2) + (h - 2) = 0

(h - 2)( h + 1) = 0

h - 2 = 0

h = 2

b) deve essere c^2/b^2 = 1/3 

(1 - a^2/b^2) = 1/3 

a^2/b^2 = 2/3 

1/h : 1/(h-1) = 2/3

(h - 1)/h = 2/3 

h = 3

@andrea05

Ciao e benvenuto.

h·x^2 + (h - 1)·y^2 = 1

confronto con

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Quindi valgono le uguaglianze:

h = 1/a^2-------> a^2 = 1/h

h - 1 = 1/b^2--------> b^2 = 1/(h-1)

Per essere reale: {h >0 ; h-1 >0}------> h>1

Se i fuochi sono disposti sull'asse delle y:

b^2 > a^2-------> 1/(h - 1) > 1/h------> 1/(h - 1) - 1/h >0

1/(h·(h - 1)) > 0 quindi per h>1 la disequazione è sempre verificata: i fuochi sotto questa condizione sono sempre su asse y

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a) un’ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate (0, ± √2/2)

c^2 = b^2 - a^2 si traduce in 1/(h·(h - 1)) = (√2/2)^2

1/(h·(h - 1)) = 1/2------> h·(h - 1) = 2-----> h^2 - h - 2 = 0

che fornisce: (h + 1)·(h - 2) = 0----> h = 2 ∨ h = -1

(si scarta la seconda)

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b) un’ellisse avente eccentricità √3/3

e = √3/3 = c/b-----> e^2 = c^2/b^2 = (b^2 - a^2)/b^2

(√3/3)^2 = 1/(h·(h - 1))·(h - 1)-----> 1/3 = 1/h-------> h = 3

Le coniche a centro non degeneri centrate nell'origine e con assi di simmetria giacenti sugli assi coordinati, hanno, in forma normale standard, equazione
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
che evidenzia i semiassi (a, b).
L'asse focale si determina dai doppi segni per le iperboli (se c'è almeno un meno) o, se si tratta di ellissi (se i doppi segni sono entrambi più), da dov'è il semiasse maggiore.
Quindi, nel caso in esame,
* Γ(h) ≡ h*x^2 + (h - 1)*y^2 = 1
rappresenta ellissi per
* 0 < h - 1 < h ≡ h > 1
con semiassi
* a = 1/√h
* b = 1/√(h - 1)
e fuochi sull'asse y per
* b > a ≡ 1/√(h - 1) > 1/√h ≡ h > 1
condizione che coincide con la precedente.
La richiesta verifica va a buon fine.
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Dalle misure dei semiassi si calcolano
* semidistanza focale c = √(b^2 - a^2) = √(1/((h - 1)*h))
* eccentricità e = c/b = 1/√h
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) "fuochi nei punti di coordinate (0, +_ sqrt(2)/2)"
* (c = 1/√2) & (h > 1) ≡
≡ (√(1/((h - 1)*h)) = 1/√2) & (h > 1) ≡ h = 2
* Γ(2) ≡ 2*x^2 + (2 - 1)*y^2 = 1
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b) "accentricitá sqrt(3)/3"
* (e = 1/√3) & (h > 1) ≡
≡ (1/√h = 1/√3) & (h > 1) ≡ h = 3
* Γ(3) ≡ 3*x^2 + (3 - 1)*y^2 = 1
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B2*x%5E2%2By%5E2%3D1%2C3*x%5E2%2B2*y%5E2%3D1%5D