Esiste un valore della costante reale a per il quale l'equazione differenziale xy''+ay'=2a-1 abbia come soluzione la funzione y(x)=Lnx+x? Motiva la risposta.
Non capisco come si debba risolvere, perché è presente una derivata seconda e non so come procedere, altrimenti avrei integrato da entrambe le parti.
Grazie a chi mi aiuterà.
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Livello 0
Io procedrei in maniera inversa.
supponiamo che $y(x)=log(x)+x$ ovviamente con $x>0$
allora
$y$'$=\frac{1}{x}+1$
e
$y$"$(x)=-\frac{1}{x^2}$
adesso vado a sostituire nell'equazione differenziale:
$x*(-\frac{1}{x^2})+a(\frac{1}{x}+1)=2a-1$
$-\frac{1}{x}+\frac{a}{x}+a=2a-1$
ovvero
$\frac{1}{x}*(a-1)=a-1$
questa risulta essere un'identità quando $a=1$
Quindi la risposta è SI, per $a=1$
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Livello 9
Ciao. Mi hai preceduto.
una volta ogni tanto... 😉
@sebastiano me è un'identità anche se il primo membro ha un coefficiente?
ohiohi...la tua domanda denota lacune pregresse preoccupanti.
se a=1 a sinistra dell'uguale hai
$\frac{1}{x}*(1-1)$ e a destra hai $1-1$
ovvero hai
$\frac{1}{x}*0=0$
cioè
$0=0$ per ogni valore della variabile $x$, la quale ho già supposto essere $>0$ all'inizio.
Come svolto da @sebastiano
avrei fatto solo una piccola differenza alla fine:
x·(- 1/x^2) + a·(1/x + 1) = 2·a - 1
- 1/x + (a/x + a) = 2·a - 1 (*x)
a·x + a - 1 = x·(2·a - 1)
da cui si vedeva che, per confronto si avrebbe avuto:
2·a - 1 = a-----> a = 1
che rendeva identità l'ultima espressione.
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Genius II
Appena vista la domanda sono dovuto uscire "a tutta callara" (≡ "in frett'e furia", romanesco); ci ho pensato su in tre diverse sale d'attesa e sono giunto alla conclusione che, se una soluzione esiste, la si trova con una ricerca retrograda e non per integrazione diretta. Adesso (dopo essere rincasato e aver consumato 18 rigatoni al pesto, mezz'etto di stracchino e mezzo bicchiere di Negroamaro) vengo a scriverti la mia brillante idea e che ti trovo? Che la stessa identica brillante idea è venuta anche @Sebastiano + @LucianoP : e mo che faccio? E gli appuntacci sul retro del primo referto li butto? Mai sia!
Onore al merito (click in su @Sebastiano & @LucianoP), ma te li mostro lo stesso.
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* f(x) = y = ln(x) + x
* f'(x) = (x + 1)/x
* f''(x) = - 1/x^2
* x*f''(x) = - 1/x
* a*f'(x) = a*(x + 1)/x
* x*f''(x) + a*f'(x) = (a*x + a - 1)/x
* xy'' + ay' = 2*a - 1 ≡
≡ (a*x + a - 1)/x = 2*a - 1 ≡
≡ a*x + a - 1 = x*(2*a - 1) ≡
≡ a*x + a - 1 = 2*a*x - x ≡
≡ (a - 1)*(x - 1) = 0
da cui si vedono le due possibili risposte positive.
1) Caso eccezionale: qual che sia il "valore della costante reale a" se x = 1 allora l'equazione è vera.
2) Caso ordinario: qual che sia il valore di x se a = 1 allora l'equazione è vera; e, se è vera ovunque, f(x) ne è la soluzione.
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Genius I
y' = 1/x + 1
y'' = - 1/x^2
Sostituendo
x*(-1/x^2) + a (1/x + 1) = 2a - 1
- 1/x + a/x + a = 2a - 1
(a-1)/x + a = 2a - 1
Dovrebbe essere
a - 1 = 0
a = 2a - 1
da cui a = 1
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Livello 7
