[Risolto] EQUAZIONE DI UN'IPERBOLE IN FORMA NORMALE E TRASFORMAZIONI

$x^2 - y^2 = 1$

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a) Simmetria rispetto alla retta x = 2

Indichiamo con ρ la trasformazione rispetto alla retta x = 2

$ ρ = \left\{\begin{aligned} x' &= 2 \cdot 2 - x \\ y' &= y \end{aligned}\right. $

$ ρ = \left\{\begin{aligned} x &= 4 - x' \\ y &= y' \end{aligned}\right. $

L'equazione riportata in forma canonica sarà

$(x-4)^2 - y^2 = 1$

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b) Simmetria rispetto al vertice di ascissa negativa.

• I due vertici hanno coordinate {V₁ = (-1,0); V₂(1,0)
• Il centro di simmetria è C(-1,0)
• La trasformazione δ rispetto al centro C(-1, 0) è quindi

$ δ = \left\{\begin{aligned} -1 &= \frac {x+x'}{2} \\ 0 &= \frac{y+y'}{2} \end{aligned}\right. $

$ δ = \left\{\begin{aligned} x &= -2-x' \\ y &= -y' \end{aligned}\right. $

Sostituendo e riportando le variabili in forma canonica avremo

$ (x+2)^2 - y^2 = 1$

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c) Simmetria rispetto ad uno degli asintoti.

Equazioni dei due asintoti. y = ± ax nel nostro caso y = ±x

Scegliamo l'asintoto y = x

La trasformazione α rispetto all'asintoto è data da

$ α = \left\{\begin{aligned} x' &= y \\ y' &= x \end{aligned}\right. $

$ α = \left\{\begin{aligned} x &= y' \\ y &= x' \end{aligned}\right. $

Sostituendo e riportando le variabili in forma canonica avremo

$ y^2 - x^2 = 1$

$ x^2 - y^2 = -1$