Scrivi l'equazione dell'iperbole corrispondente dell'iperbole di equazione $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ :
a. nella traslazione $\tau$ di vettore $\vec{v}(-1,1)$;
b. nella simmetria $\delta$ di centro $(-1,1)$;
c. nella trasformazione composta $\tau \circ \delta$;
d. nella trasformazione composta $\delta \circ \tau$.
a. $\frac{(x+1)^2}{4}-(y-1)^2=1$; b. $\frac{(x+2)^2}{4}-(y-2)^2=1$;
c. $\frac{(x+3)^2}{4}-(y-3)^2=1$; d. $\left.\frac{(x+1)^2}{4}-(y-1)^2=1\right]$
2168
punti
Livello 2
a. Traslazione τ.
Applicando il vettore di traslazione $ \vec v = (-1,1)$ le nuove coordinate (x',y') si esprimono come
$τ = \left \{\begin{aligned} x' &= x-1 \\ y' &= y+1 \end{aligned} \right.$
dalla quale si ricava
$τ = \left\{\begin{aligned} x &= x'+1\\ y &= y'-1\end{aligned}\right.$
sostituendo le variabili nell'equazione si ottiene
$\frac{(x'+1)^2}{4} - (y'-1)^2 = 1$
Ribattezziamo le nuove variabili con le classiche x e y
$\frac{(x+1)^2}{4} - (y-1)^2 = 1$
.
b. Simmetria centrale δ di centro c(-1,1)
devono valere le seguenti relazioni
$δ = \left\{\begin{aligned} x_c &= \frac {x'+x}{2} \\ y_c &= \frac {y'+y}{2}\end{aligned}\right.$
ora $x_c = -1$ mentre $y_c = 1$ per cui
$δ = \left\{\begin{aligned} x &= -x'-2\\ y &= -y'+2\end{aligned}\right.$
sostituendo le variabili nell'equazione si ottiene
$\frac{(-x'-2)^2}{4} - (2-y')^2 = 1$
Ribattezziamo le nuove variabili con le classiche x e y
$\frac{(x+2)^2}{4} - (y-2)^2 = 1$
nota (a-b)² = (b-a)²
.
c. Composizione τ◦δ
Applicando la simmetria centrale δ si ha
$δ = \left\{\begin{aligned} x &= -x'-2\\ y &= -y'+2\end{aligned}\right.$
ora applichiamo la traslazione τ sulle variabili x' e y' in funzione delle nuove variabili x" e y"
$τ = \left\{\begin{aligned} x' &= x^{\prime\prime}+1\\ y' &= y^{\prime\prime}-1\end{aligned}\right.$
sostituendo queste ultime nella trasformazione δ si ottiene
$τ◦δ = \left\{\begin{aligned} x &= -(x^{\prime\prime} +1)-2\\ y &= -(y^{\prime\prime}-1)+2\end{aligned}\right.$
$τ◦δ = \left\{\begin{aligned} x &= -3 -x^{\prime\prime} \\ y &= 3 -y^{\prime\prime}\end{aligned}\right.$
Solito ritorno alle variabili canoniche
$ \frac{(x+3)^2}{4} - (y-3)^2 = 1$
.
d. Composizione δ◦τ
Applicando la simmetria centrale δ si ha
$δ = \left\{\begin{aligned} x' &= -x^{\prime\prime}-2\\ y' &= -y^{\prime\prime}+2\end{aligned}\right.$
ora applichiamo la simmetria centrale sulle variabili x' e y' della traslazione
$δ◦τ = \left\{\begin{aligned} x &= -1 -x^{\prime\prime}\\ y &= 1- y^{\prime\prime} \end{aligned}\right.$
Solito ritorno alle variabili canoniche
$ \frac{(x+1)^2}{4} - (y-1)^2 = 1$
6051
punti
Livello 2
@cmc 👍👌👍+
