Equazione di secondo grado

"Un triangolo isoscele di area 1200 cm² è tale che la somma dell'altezza con la metà della base è uguale a 70 cm. Calcola il perimetro del triangolo."            [160 cm, 180 cm]

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Altezza $=x$;

semi-base $= 70-x$;

base $= 2(70-x)$;

equazione con la formula dell'area:

$\dfrac{x·2(70-x)}{2}=1200$

$x(70-x) = 1200$

$70x-x^2 = 1200$

$-x^2+70x -1200=0$

$x^2-70x+1200=0$

equazione di secondo grado completa, risolvi con i seguenti dati:

$a=1$;

$b=-70$; 

$c=1200$;

$∆= b^2-4ac = (-70)^2-4×1×1200 = 4900-4800 = 100$;

applica la formula risolutiva:

$x_{1,2}=\dfrac{-b±\sqrt∆}{2a} = \dfrac{-(-70)±\sqrt{100}}{2·1} = \dfrac{70±10}{2}$

risultati:

$x_1= \dfrac{70-10}{2}= \dfrac{60}{2}=30$;

$x_2= \dfrac{70+10}{2}= \dfrac{80}{2}=40$;

visto che nella domanda non è specificato quale dimensione sia maggiore o minore, i risultati essendo positivi e congrui per la figura valgono ambedue:

altezza = 30 cm → base = 40 cm; oppure:

altezza = 40 cm → base = 30 cm;

l'area torna uguale e il lato obliquo, con il teorema di Pitagora, torna sempre 50 cm e quindi il perimetro sarà alternativamente: 160 cm o 180 cm.

"Un triangolo isoscele di area 1.200 cm² è tale che la somma dell'altezza con la metà della base è uguale a 70 cm. Calcola il perimetro del triangolo."            [160 cm, 180 cm]

area A = 1200 = b/2*h

70 = b/2+h 

b/2= (70-h)

1200 = (70-h)*h

1200-70h+h^2 = 0 

h = (70±√70^2-4*1200)/2 = (70±10)/2 = 40 ; 30 

se h = 40, b/2 = 30 e lato obliquo = 10√3^2+4^2 = 50 cm ; perimetro = 2*50+60 = 160 cm

se h = 30 , b/2 = 40 e lato obliquo = 10√3^2+4^2 = 50 cm ; perimetro = 2*50+80 = 180 cm

Se l'altezza é x, la base é 2S/x = 2400/x

e così x + 1200/x = 70

x^2 - 70x + 1200 = 0

(x - 30)(x - 40) = 0

x = 30 V x = 40

la base sarà di conseguenza

x = 80 V x = 60

e ti lascio i calcoli con il Teorema di Pitagora

per arrivare al perimetro

se l'altezza é 30 e la base é 80

il lato é 50 e 50*2 + 80 = 180

se l'altezza é 40 e la base é 60

il lato é 50 e 50*2 + 60 = 160

Cara Cindy, temo che tu confonda la necessità (o anche la semplice opportunità) con il dovere: non è che "bisogna risolverlo con una equazione di secondo grado" è che quasi sempre conviene (e a volte è necessario) farsi un modello algebrico di un problema geometrico perché nella nostra cultura è più agevole calcolare che non dimostrare.
Il "metodo per arrivare all'equazione" cioè per farsi un modello algebrico consiste nell'aver presente tutte le entità rilevanti per il problema, elencarle e nominarle per iscritto, scrivere le relazioni fra di esse in termini dei nomi assegnati e, dopo aver contemplato con attenzione ciò che si è scritto, esprimere le incognite del problema in quegli stessi termini.
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ANALISI DEL PROBLEMA
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Il triangolo isoscele con
* {lato di base, lati di gamba, altezza sulla base, altezze sulle gambe} = {b, L, h, k}
ha
* perimetro p = b + 2*L
* area S = b*h/2 = L*k/2
e per esso vale la relazione pitagorica
* L^2 = h^2 + (b/2)^2
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Per questo problema, con misure in cm e cm^2, i dati sono
* S = 1200
* h + b/2 = 70
e si chiede di determinare p.
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Il secondo dato è già un'equazione in (b, h) e il primo lo diventa, nelle stesse variabili, sostituendo ad S la sua espressione in (b, h) e così ottenendo (NON "per tentativi", ma ragionando a piccoli passi), completato dalle restrizioni geometriche, il sistema
* (h + b/2 = 70) & (b*h/2 = 1200) & (b > 0) & (h > 0)
dal quale puoi ottenere non una, ma ben due equazioni risolventi di secondo grado (secondo che espliciti ed eguagli l'una o l'altra variabile).
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ARRIVARE ALL'EQUAZIONE
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A) (h + b/2 = 70) & (b*h/2 = 1200) & (b > 0) & (h > 0) ≡
≡ (b = 2*(70 - h)) & (b = 2400/h) & (b > 0) & (h > 0)
da cui l'equazione di secondo grado risolvente
* 2*(70 - h) = 2400/h ≡
≡ (h^2 - 70*h + 1200 = 0) & (h > 0)
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B) (h + b/2 = 70) & (b*h/2 = 1200) & (b > 0) & (h > 0) ≡
≡ (h = 70 - b/2) & (h = 2400/b) & (b > 0) & (h > 0)
da cui l'equazione di secondo grado risolvente
* 70 - b/2 = 2400/b ≡
≡ (b^2 - 140*b + 4800 = 0) & (b > 0)
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RISOLUZIONE
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A) (h^2 - 70*h + 1200 = 0) & (h > 0) ≡ (h = 30) oppure (h = 40)
da cui (b = 2400/30 = 80) oppure (b = 2400/40 = 60)
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B) (b^2 - 140*b + 4800 = 0) & (b > 0) ≡ (b = 60) oppure (b = 80)
da cui (h = 2400/60 = 40) oppure (h = 2400/80 = 30)
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C) da L^2 = h^2 + (b/2)^2 si ha p = b + 2*√(h^2 + (b/2)^2)
da (b, h) = (60, 40) si ha p = 160
da (b, h) = (80, 30) si ha p = 180
cioè
* p = 100 + b

1200=B*H/2   B/2+H=70   H=70-B/2  sostituisci e risolvi