[Risolto] Equazione di secondo grado

L'equazione
* x/(5*x + √5) + 1/5 = (x^2 + 5)/((5*√5)*x + 5)
è un'equazione razionale (ogni lettera ha per esponente un numero naturale) fratta (c'è almeno un denominatore che contiene una lettera) e pertanto non è un'equazione di secondo grado in quanto il grado è un attributo esclusivo delle equazioni razionali intere (nessun denominatore contiene lettere).
Dal momento che un'equazione fratta ha significato se e solo se nessun denominatore è zero tale condizione di buona definizione significa, in questo caso, la condizione restrittiva
* (5*x + √5 != 0) & ((5*√5)*x + 5 != 0) ≡ (x != - 1/√5)
da applicare ai risultati ottenuti dalla risoluzione, ma anche ai singoli passaggi.
* (x/(5*x + √5) + 1/5 = (x^2 + 5)/((5*√5)*x + 5)) & (x != - 1/√5) ≡
≡ (x/(5*x + √5) + 1/5 - (x^2 + 5)/((5*√5)*x + 5) = 0) & (x != - 1/√5) ≡
≡ ((x^2 - (2*√5)*x + 4)/((5*x + √5)*√5) = 0) & (x != - 1/√5) ≡
≡ (x^2 - (2*√5)*x + 4 = 0) & (x != - 1/√5)
Quindi l'originale equazione razionale fratta risulta equivalente a un sistema composto da un'equazione monica di secondo grado e da una condizione restrittiva.
La risoluzione dell'equazione monica di secondo grado si fa con i passaggi pubblicati nel VII secolo da Bramegupta: completare il quadrato dei termini variabili; sottrarre membro a membro il termine noto; estrarre membro a membro la radice quadrata; isolare la variabile; distinguere e semplificare le radici.
* x^2 - (2*√5)*x + 4 = 0 ≡
≡ (x - √5)^2 - (√5)^2 + 4 = 0 ≡
≡ (x - √5)^2 = 1 ≡
≡ x - √5 = ± 1 ≡
≡ x = √5 ± 1 ≡
≡ (x = √5 - 1) oppure (x = √5 + 1)