[Risolto] Equazione di retta su cartesiano

Ti serve un mini promemoria da stampare e tenere sott'occhio?
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A) GENERARE E CLASSIFICARE UN FASCIO DI RETTE
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Date due rette in forma normale canonica come generatrici del fascio richiesto
* a*x + b*y + c = 0
* p*x + q*y + r = 0
si verifica che non siano coincidenti, cioè che non si verifichi
* a/p = b/q = c/r = costante
in quanto le generatrici devono essere distinte.
Se sono distinte se ne risolve il sistema
* (a*x + b*y + c = 0) & (p*x + q*y + r = 0) ≡
≡ (xC = (c*q - b*r)/(b*p - a*q)) & (yC = (a*r - c*p)/(b*p - a*q))
e si distinguono due casi.
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A1) b*p - a*q = 0 ≡ b*p = a*q ≡ b/a = q/p = - m
Il sistema è impossibile perché, avendo la stessa pendenza m, le generatrici sono parallele e pertanto generano il fascio improprio col centro C all'infinito
* r(h) ≡ y = m*x + h
dove il parametro h è l'ordinata dell'intersezione Y(0, h) con l'asse y.
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A2) b*p - a*q != 0 ≡ b/a != q/p
Il sistema è determinato perché, avendo pendenze differenti, le generatrici sono incidenti nel centro C(xC, yC) e pertanto generano il fascio proprio delle rette per C
* r(∞) ≡ x = xC, parallela all'asse y
oppure
* r(k) ≡ y = yC + k*(x - xC)
dove il parametro k è ogni possibile pendenza reale.
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B) CLASSIFICARE UN FASCIO DI RETTE DATO
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Data in forma normale canonica l'equazione del fascio con coefficienti nel parametro p
* r(p) ≡ a(p)*x + b(p)*y + c(p) = 0
si specializzano le due rette di più facile calcolo (r(0), r(1)) e con esse si procede come sub A.
Ovviamente, nella riduzione alle forme esplicite "r(h) ≡ y = m*x + h" o "r(k) ≡ y = yC + k*(x - xC)" con le quali fare i calcoli richiesti, si devono predisporre le trasformazioni "p = f(h)" o "p = g(k)" in quanto di solito le risposte ai quesiti sono attese nel parametro p originale.
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C) INDIVIDUARE RETTE SPECIFICHE IN UN FASCIO DI RETTE DATO
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Data in forma normale canonica l'equazione del fascio con coefficienti nel parametro p
* r(p) ≡ a(p)*x + b(p)*y + c(p) = 0
si esaminano anzitutto i tre casi in cui si azzera uno dei parametri.
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C1) per p = U si ha a(U) = 0, quindi
* r(U) ≡ b(U)*y + c(U) = 0 ≡ y = - c(U)/b(U)
retta parallela all'asse x
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C2) per p = D si ha b(D) = 0, quindi
* r(p) ≡ a(D)*x + c(D) = 0 ≡ x = - c(D)/a(D)
retta parallela all'asse y
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C3) per p = T si ha c(T) = 0, quindi
* r(T) ≡ a(T)*x + b(T)*y = 0 ≡ y = - (a(T)/b(T))*x
retta per l'origine con pendenza m(T) = - a(T)/b(T)
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C4) Altre due possibili richieste che si trovano comunemente negli esercizi sono le seguenti.
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C4a) Individuare la retta del fascio che passa per un dato punto P(u, v); la si risolve ricavando il valore del parametro dal vincolo d'appartenenza.
C4a1) a(p)*u + b(p)*v + c(p) = 0
C4a2) v = m*u + h
C4a3) v = yC + k*(u - xC)
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C4b) Individuare una coppia di generatrici.
NB: chiedere di individuare "LE generatrici" con l'articolo determinativo è un GRAVE ERRORE CONCETTUALE non tanto d'italiano quanto proprio di matematica perché l'operazione di generare un fascio (come sub A) NON E' INVERTIBILE UNIVOCAMENTE. Nel punto B si è mostrato come basti specializzare due rette distinte per ricavarne tutte le proprietà caratteristiche.
Il modo di risolvere questa richiesta dipende dal fatto che sia già stata effettuata o no la riduzione alle forme esplicite "r(h) ≡ y = m*x + h" o "r(k) ≡ y = yC + k*(x - xC)".
Se non la si è già fatta si può decidere di farla prima di cercare due generatrici e quindi procedere come segue.
C4b1) r(h) ≡ y = m*x + h: (r(0), r(1)) ≡ (y = m*x, y = m*x + 1)
C4b2) r(k) ≡ y = yC + k*(x - xC): (r(0), r(1)) ≡ (y = yC, y = x + (yC - xC))
Invece, lavorando sulla forma normale canonica, ci sono due opzioni.
C4b3) (r(0), r(1)) ≡ (a(0)*x + b(0)*y + c(0) = 0, a(1)*x + b(1)*y + c(1) = 0)
C4b4) Calcolo per passi successivi.
* Sviluppare, commutare e ridurre "a(p)*x + b(p)*y + c(p) = 0" fino a eliminare ogni parentesi e ogni molteplicità di termini simili.
* Commutare i termini fino a ottenere che siano adiacenti fra loro tutti quelli privi della lettera "p" e poi tutti quelli che la contengono.
* Porre in evidenza il fattore "p" fra i termini che lo hanno, ottenendo la forma
** (r*x + s*y + t) + p*(u*x + v*y + w) = 0
* dichiarare le due possibili generatrici
** r*x + s*y + t = 0
** u*x + v*y + w = 0
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FINE DEL PROMEMORIA
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Esercizio
Be', a questo punto hai tutto ciò che ti basta a svolgerlo da te! Vero?