[Risolto] EQUAZIONE DI PARTICOLARI FASCI USA IL (METODO DEI FASCI DI CIRCONFERNZE).

I punti di intersezione tra le due circonferenze $γ_1, γ_2$ sono punti base di tutte le circonferenze del fascio 

$ Γ(k) : γ_1 + kγ_2 $

Si tratta quindi di determinare le circonferenze del fascio $ Γ(k)$ tangenti all'asse delle x (di eq. y = 0).

Non resta che risolvere il sistema composto dal fascio e dall'asse delle ascisse, cioè

$\left\{\begin{aligned} γ_1 + kγ_2 & = 0 \\ y &= 0 \end{aligned} \right.$

Per sostituzione ponendo y = 0 sull'equazione del fascio si ottiene

$(1+k)x^2 -(1+4k) = 0 $

Imponiamo che il discriminante dell'equazione di secondo grado sia nullo, cioè

$ b^2-4ac = 0 \quad \implies \quad (1+k)(1+4k) = 0 $

le cui due soluzioni, sono ovviamente

1. $k = -1 \,\, \text{da cui}\,\, -4y-1+4 = 0 \,\, \text {cioè } \,\, y = 3/4$ Impossibile. E' una retta parallela all'asse delle x, non coincidente.
2. $k = \frac{-1}{4} \,\, \text{da cui}$

$3x^2+3y^2-16y = 0$

Punti di intersezione, li chiamo M e N

x^2 + y^2 - 4y - 1 = 0

x^2 + y^2 - 4 = 0

sottraendo - 4 + 4y + 1 = 0

y = 3/4

x^2 + 9/16 = 4

x^2 = 55/16

A = (rad(55)/4, 3/4) e B = (- rad(55)/4, 3/4)

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

con y = 0

x^2 + ax + c = 0

a^2 - 4c = 0

c = a^2/4

Quindi imponendo le condizioni di appartenenza di M e N

55/16 + 9/16 + rad(55)/4 a + 3/4 b + c = 0

55/16 + 9/16 - rad(55)/4 a + 3/4 b + c = 0

sottraendo ancora

1/2 a rad(55) = 0 => a = 0 e c = 0^2/4 = 0

Si ha quindi il fascio di circonferenze per l'origine

x^2 + y^2 + by = 0

con 64/16 + 3/4 b = 0 dalla prima

3/4 b = - 4

b = -16/3

x^2 + y^2 - 16/3 y = 0

3x^2 + 3y^2 - 16y = 0

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/pwbglvviws

Ripassi
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Nell'equazione in forma normale standard della generica circonferenza Γ
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza determinando i tre parametri (a, b, q).
Se uno o più fra (a, b, q) è funzione di un parametro k allora Γ(k) è l'equazione di un fascio.
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La retta s, asse del segmento AB di estremi due dati punti A(a, p) e B(b, q) è il luogo di tutti e soli i punti C(x, y) equidistanti da A e B e la comune distanza è il raggio R della circonferenza per A e B centrata su C.
* |AC|^2 = |BC|^2 = q = R^2 ≡
≡ (x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q = R^2
di tale sistema ci sono due casi particolari
1) (a = b) & (p ≠ q) & ((x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q)
da cui
* s ≡ y = (p + q)/2
* C(k, (p + q)/2)
* Q = (b - k)^2 + (p - q)^2/4
2) (a ≠ b) & (p = q) & ((x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q)
da cui
* s ≡ x = (a + b)/2
* C((a + b)/2, k)
* Q = (k - q)^2 + (a - b)^2/4
e il caso generale
3) (a ≠ b) & (p ≠ q) & ((x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q)
da cui
* s ≡ y = (2*(b - a)*x + (a^2 - b^2) + (p^2 - q^2))/(2*(p - q))
* C(k, (2*(b - a)*k + (a^2 - b^2) + (p^2 - q^2))/(2*(p - q)))
* Q = ((b - a)*(a + b - 2*k) + (p - q)^2)^2/(4*(p - q)^2) + (a - k)^2
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Esercizi
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212907/ A(- 1, 0), B(3, 0)
Caso 2
* C((- 1 + 3)/2, k)
* Q = (k - 3)^2 + (- 1 - 3)^2/4
* Γ(k) ≡ (x - 1)^2 + (y - k)^2 = (k - 3)^2 + 4
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212908/ A(1, - 2), B(3, 6)
Caso 3
* C(k, (2*(3 - 1)*k + (1^2 - 3^2) + ((- 2)^2 - 6^2))/(2*((- 2) - 6)))
* Q = ((3 - 1)*(1 + 3 - 2*k) + ((- 2) - 6)^2)^2/(4*((- 2) - 6)^2) + (1 - k)^2
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (10 - k)/4)^2 = 17*((k - 2)^2/16 + 1)
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212909/
* x - 2*y - 4 = 0 ≡ x - 2*y = 4 ≡ x/4 + y/(4/(- 2)) = 1 →
→ A(4, 0), B(0, - 2)
Caso 3
Alle sostituzioni e semplificazioni ci pensi tu, vero?
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212911/
Passa per A(1, 0) e per B(3, 0) e tange l'asse y.
Caso 2
* C((1 + 3)/2, k)
* Q = (k - 0)^2 + (1 - 3)^2/4
* Γ(k) ≡ (x - 2)^2 + (y - k)^2 = k^2 + 1
Tangere l'asse y vuol dire che l'ascissa del centro deve avere modulo pari al raggio, positivo; cioè
* |xC| = √Q > 0 ≡
≡ 2 = √(k^2 + 1) > 0 ≡
≡ k = ± √3
Alle sostituzioni e semplificazioni ci pensi tu, vero?
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212913/
La retta
* x + y + 1 = 0 ≡ y = - x - 1
ha cursore C(x, - x - 1).
* (x^2 + y^2 + 4*x = 0) & (x^2 + y^2 - 9 = 0) ≡
≡ A(- 9/4, - 3*√7/4) oppure B(- 9/4, 3*√7/4)
Caso 1
* C(k, 0)
* Q = (- 9/4 - k)^2 + (- 3*√7/4 - 3*√7/4)^2/4
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + y^2 = (k + 9/4)^2 + 63/16
La circonferenza richiesta si ha per
* C(k, 0) = (x, - x - 1) ≡ x = k = - 1
Alle sostituzioni e semplificazioni ci pensi tu, vero?
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212914/
Tangere l'asse x vuol dire che l'ordinata del centro deve avere modulo pari al raggio, positivo; cioè
* |yC| = √Q > 0
* (x^2 + y^2 - 4*y - 1 = 0) & (x^2 + y^2 - 4 = 0) ≡
≡ A(- √55/4, 3/4) oppure B(√55/4, 3/4)
Caso 2
Oramai è una noia.
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Urca la Peppa, questa sì che è stata una batteria!