[Risolto] Equazione di grado superiore al secondo

(x - 1) * (x - 2) * (x - 3) = 0;

Scritta così si vede che ha tre soluzioni: x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3.

(x^2 - 2x - x + 2) * (x - 3) = 0;

(x^2 - 3x + 2) * (x - 3) = 0;

x^3 - 3 x^2 - 3x^2 + 9x  + 2x - 6 = 0;

x^3 - 6x^2 + 11 x - 6 = 0; equazione   di 3° grado.

Si cercano le soluzioni tra i fattori di 6; (1 * 2 * 3);

1 annulla il polinomio. Con Ruffini si divide per  x - 1;

equazione di quarto grado, biquadratica.

(x^2 - 4) * (x^2 - 9) = 0;

soluzioni: x12 =+-2;  x34 = +- 3;

x^4 - 9x^2 - 4x^2 + 36 = 0

x^4 - 13 x^2 + 36 = 0;

si pone x^2 = y;

y^2 - 13y + 36 = 0;

y = [13 +- radice(13^2 -36* 4) ] / 2;

y = [13 +- radice(25)] / 2,

y = [13 + - 5] / 2;

y1 = 18/2 = 9 ;

y2 = 8/2 = 4;

x = +- radice(y);

x12 = +- radice(9);

x34 = +- radice(4).

(x + 1)^3 = 0;

x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0;

ha tre soluzioni coincidenti:   - 1; - 1; -1 

@salvonardyn  ciao

a) (x - 1)(x^2 + 4x + 5) = 0

un binomio di primo grado e un trinomio con delta negativo

b) ( x^2 - 5x + 6 ) (x^2 + 4 ) = 0

un trinomio con delta positivo e uno con delta negativo

c) (2x^2 - x - 1)(2x - 5) = 0

un trinomio con delta positivo ed un binomio di primo grado
con radice diversa dalle due del trinomio

Se ti va sviluppi i prodotti, ma la traccia non ti obbliga a farlo.

Caro Salvo, leggendo questa tua domanda ho avuto il dubbio della categoria sotto cui iscriverla: eccesso di zelo del neofita, ansia da prestazione, o più semplicemente (pubblicata con timestamp 02/04/2023 00:10!) mieru de Carmianu?
Scherzi a parte, hai letto di più di quanto c'è scritto e allo stesso tempo hai trascurato di badare alla consegna "FAI UN ESEMPIO" che chiede di costruire, non di risolvere.
Io qui non ti faccio gli esempi richiesti (già @EidosM ed @mg te ne hanno mostrati un po') e invece cerco di rassicurarti (si fa per dire, eh!) su ciò che ti lascia perplesso.
------------------------------
"Per risolverle, si usa lo stesso metodo di quelle di secondo grado?"
NO, NEMMENO PER IDEA.
Per le radici dell'equazione di secondo grado si usa la formula di Bramegupta.
Per le radici dell'equazione di terzo grado si usa la formula di Tartaglia-Cardano.
Per le radici dell'equazione di quarto grado si usa la formula di Ferrari-Cardano.
Col quarto grado finiscono le formule composte con operazioni razionali, potenze e radici.
Per le equazioni razionali che eguagliano a zero un polinomio di grado superiore a quattro occorre, a meno di configurazioni particolari, usare metodi grafico-numerici.
------------------------------
"Nel manuale, ..., propongono questi esercizi."
Evidentemente nel capitolo che precede l'esercizio 510 si parla di come ogni polinomio p(x) a coefficienti reali si possa scomporre in fattori a coefficienti reali di grado inferiore a tre: un solo fattore di grado zero, almeno uno di grado uno se p(x) è di grado dispari, e fattori di grado due con discriminante negativo.
Dopo una tale spiegazione questi esercizi hanno lo scopo di verificare solo la comprensione dell'argomento, e non anche la capacità di applicazione come quelli in cui si chiede di risolvere.
------------------------------
"..., senza nemmeno trattare le equazioni di terzo grado e superiore, ..."
Si tratta di trattazioni noiose e complicate, ma soprattutto di scarsa utilità ai fini scolastici (l'obiettivo della scuola è istruire, non addestrare!).
Te ne mostro una possibile, così te ne puoi fare un'idea.
NOTA: la scrissi in un periodo in cui mi dilettavo a usare l'ortografia di Panzini, Pirandello, ...
==============================
EQUAZIONE DI TERZO GRADO
========================
Con {a, b, c, d, x} reali, ed a != 0, l'equazione di terzo grado
* a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0
si tratta come segue.
---------------
A) Divìdere membro a membro la forma normale canònica per il coefficiente direttore
* a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0 ≡ [p = b/(3*a); q = c/a; r = d/a]
≡ f(x) = x^3 + 3*p*x^2 + q*x + r = 0
---------------
B) Sostituire in f(x)
* x = (u - p)
* x^2 = (u - p)^2 = u^2 - 2*p*u + p^2
* x^3 = (u - p)^3 = u^3 - 3*p*u^2 + 3*u*p^2 - p^3
ottenendo
* p(u) = u^3 + (q - 3*p^2)*u + (2*p^3 + r - p*q)
---------------
C) Isolare il cubo
* f(x) = 0 ≡ p(u) = 0 ≡
≡ u^3 = (3*p^2 - q)*u + (p*q - 2*p^3 - r) ≡ [h = (p*q - 2*p^3 - r)/2; k = (3*p^2 - q)/3]
≡ u^3 = 3*k*u + 2*h
---------------
D) In quest'ùltima forma (di Tartaglia, Del Ferro, Cardano) le tre radici in "u" si ottèngono combinando opportunamente le tre radici cùbiche dell'unità
* {1; (- 1 - i*√3)/2; (- 1 + i*√3)/2}
http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell%27unit%C3%A0#Alcune_radici_di_1
con la radice cùbica K del radicando
* R = h + √(h^2 - k^3) = h*(1 + √(1 - k^3/h^2))
cioè
* K = R^(1/3) = (h + √(h^2 - k^3))^(1/3)
con cui si fòrmano le tre radici (almeno una reale, o tutt'e tre, ma non due)
* U1 = k/K + K
* U2 = - (1/2)*(k*(1 + i*√3)/K + K*(1 - i*√3))
* U3 = - (1/2)*(k*(1 - i*√3)/K + K*(1 + i*√3))
--------
In particolare
* per h^2 < k^3, K = m + i*n è complesso;
* per h^2 = k^3, K = h^(1/3) è reale e concorde ad h;
* per h^2 > k^3, K è reale.
---------------
E) In tèrmini dei paràmetri {p, q, r} si ha
* h = (p*q - 2*p^3 - r)/2
* k = (3*p^2 - q)/3
* √(h^2 - k^3) = √((108*r*p^3 - 9*(p*q)^2 - 54*p*q*r + 4*q^3 + 27*r^2)/108)
* R = h + √(h^2 - k^3) = (p*q - 2*p^3 - r)/2 + √(108*r*p^3 - 9*(p*q)^2 - 54*p*q*r + 4*q^3 + 27*r^2)/(6*√3)
* K = R^(1/3) = ((p*q - 2*p^3 - r)/2 + √(108*r*p^3 - 9*(p*q)^2 - 54*p*q*r + 4*q^3 + 27*r^2)/(6*√3))^(1/3)
==============================
NON SO SE HO RESO L'IDEA.