[Risolto] Equazione della retta tangente

esistono almeno due metodi, uno lento e laborioso e uno velocissimo.

Partiamo da quello lento e laborioso, che sicuramente è quello che stai provando tu:

conica:

$x^2-3y^2=6$

pascio di rette proprio passante per $P(3,1)$:

$y=m(x-3)+1$

sostituisci l'equazione del fascio nell'equazione della conica e poi di dovrebbe uscire un'equazione quadratica il cui discriminante $\Delta$ dovrai porre uguale a 0:

$x^2-3[m^2(x-3)^2+1+2m(x-3)]=6$

sviluppando dopo alcuni passaggi arrivi a:

$(1-3m^2)x^2+6m(3m-1)x-9(3m^2-2m+1)=0$

il cui discriminante vale:

$\Delta=36m^2(3m-1)^2+4*9*(1-3m^2)(3m^2-2m+1)$ questo deve fare 0.

sviluppando ti accorgi che sia i termini in $m^4$ che in $m^3$ si elidono a vicenda e rimane:

$\Delta=m^2-2m+1=0$ ovvero $(m-1)^2=0$ e cioè 

$m=1$

La retta cercata è pertanto $y=x-2$

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Secondo metodo: geometria proiettiva e coordinate omogenee.

obiettivo: trovare la polare del punto $P$ rispetto alla conica. 

La matrice $A$ associata alla conica è:

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0\\
0 & 0 & -6
\end{pmatrix}

il punto $P$ in coordinate omogenee vale $P(3,1,1)$

la polare è quindi

$P^TAx=(3, -3, -6)*(x_1, x_2, x_3)=3x-3y-6=0$

ovvero

$x-y-2=0$

$y=x-2$