Equazione della parabola: grazie!!!

Nell'ipotesi (non specificata) che la parabola abbia asse di simmetria // asse y.... 

La parabola ha equazione:

Y=ax²+bx+c

Le radici dell'equazione di secondo grado associata sono:

x1= 0 ; x2 = 2

La funzione passa per O(0;0)  => c=0

L'equazione della conica è quindi

Y= a*x*(x-2)

Il punto B, avente ascissa nel punto medio del segmento AB, è sull'asse della parabola (x= 1). Poiché il punto appartiene alla parabola, B è il vertice. Quindi:

- b/2a = 1 => a= 2/2 =  1

L'equazione risulta essere:

Y= x*(x-2) = x² - 2x

Se non introduciamo l'ipotesi semplificativa iniziale,  la soluzione corretta è quella proposta da exProf. Esistono infinite parabole che passano per i tre punti indicati. 

La parabola deve essere del tipo:

y = a·x·(x - 2) in quanto passante per i punti A e C. Il passaggio per il terzo punto B permette di determinare l'unico parametro incognito:

-1 = a·1·(1 - 2)----> -1 = -a----> a = 1

Quindi:

y = x·(x - 2)-----> y = x^2 - 2·x

Mi capita di rado d'essere in disaccordo con gli altri responsori abituali, ma quasi sempre quando introducono abusivamente ipotesi gratuite che semplificano il problema da risolvere; io invece sono fedele alle vecchie regole degli esami di Stato (concorsi ministeriali, corsi universitarii, maturità, abilitazioni, ...): L'IPOTESI SEMPLIFICATIVA PROVOCA BOCCIATURA.
In questo caso l'ipotesi semplificativa è l'aver stabilito la direzione dell'asse di simmetria: se l'autore avesse voluto stabilirla o l'avrebbe dichiarata o di punti ne avrebbe dati cinque.
Non dichiararla e dare tre soli punti è una scelta dell'autore e il risolutore è tenuto a svolgere il suo elaborato entro quei limiti, non può modificare il tema propostogli.
Un possibile svolgimento è come segue.
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Nel piano Oxy per tre punti non allineati passa un'infinità di parabole.
La giustificazione analitica deriva dall'imporre il passaggio per tre punti ad un'equazione che di parametri ne ha cinque: quella della generica parabola Γ del piano Oxy
* Γ ≡ (a*x + b*y)^2 + p*x + q*y + r = 0
il cui asse di simmetria è inclinato di
* θ = arctg(- a/b) se b != 0, altrimenti θ = π/2
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Applicare a questa forma i tre vincoli di passaggio dà
* (r = 0) & ((a - b)^2 + p - q + r = 0) & ((a*2 + b*0)^2 + p*2 + q*0 + r = 0) ≡
≡ (p = - 2*a^2) & (q = 2*b^2 - (a + b)^2) & (r = 0)
da cui la forma a due soli parametri
* Γ ≡ (a*x + b*y)^2 - (2*a^2)*x + (2*b^2 - (a + b)^2)*y = 0
e da questa l'affermazione "passa un'infinità di parabole".
CONTROPROVA d'esempio nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%289x--y%29%5E2%3D162x--98y%2C%285x--y%29%5E2%3D50x--34y%2C%28y-7x%29%5E2%3D98x--34y%5D