Equazione della Parabola

y = a·x^2 + b·x + c

passa da: [1, 1] ed è tangente a:y = 2·x + 1; y = x

N.B. La retta tangente y = x passa dal punto dato.

(lascio tale suggerimento a te per percorrere una via alternativa alla mia soluzione seguente)

1 = a·1^2 + b·1 + c---> 1 = a + b + c---> c = -a - b + 1

Metodo classico

{y = a·x^2 + b·x + (-a - b + 1)

{y = 2·x + 1

per sostituzione: 

a·x^2 + b·x + (-a - b + 1) - (2·x + 1) = 0

a·x^2 + x·(b - 2) - a - b = 0

Δ = 0 condizione di tangenza

(b - 2)^2 + 4·a·(a + b) = 0

4·a^2 + 4·a·b + (b - 2)^2 = 0

{y = a·x^2 + b·x + (-a - b + 1)

{y = x

Analogamente:

a·x^2 + b·x + (-a - b + 1) - x = 0

a·x^2 + x·(b - 1) - a - b + 1 = 0

Δ = 0

(b - 1)^2 + 4·a·(a + b - 1) = 0

4·a^2 + 4·a·(b - 1) + (b - 1)^2 = 0

Metto a sistema le due condizioni in grassetto:

{4·a^2 + 4·a·b + (b - 2)^2 = 0

{4·a^2 + 4·a·(b - 1) + (b - 1)^2 = 0

risolvo ed ottengo:

[a = - 1/8 ∧ b = 5/4]

c = -(- 1/8) - 5/4 + 1---> c = - 1/8

y = - 1/8·x^2 + 5/4·x - 1/8