[Risolto] Equazione della parabola

Scrivi tre condizioni di appartenenza come faccio adesso. Il sistema lo risolvi tu

A) -1 = a*1^2 + b*1 + c

B) 1 = a*2^2 + b*2 + c

C) 11 = a*(-2)^2 + b*(-2) + c.

Il mio suggerimento é sottrarre la III prima dalla I e poi dalla II

Questo ti porta ad un sottosistema 2 x 2 in a e b.

{-1 = a·1^2 + b·1 + c

{1 = a·2^2 + b·2 + c

{11 = a·(-2)^2 + b·(-2) + c

Risolvi:

{a + b + c = -1

{4·a + 2·b + c = 1

{4·a - 2·b + c = 11

ottieni: a = 3/2 ∧ b = - 5/2 ∧ c = 0

quindi: y = 3·x^2/2 - 5·x/2

Sostituisci le coordinate nell'equazione y = ax^2 + bx + c e trovi a; b; c.

𝐴(1, −1) 𝐵(2,  1) 𝐶(−2,11);

A(x = 1; y = - 1); 

B (x = 2; y = 1);

C (x = - 2; y = 11)

- 1 = a + b + c ;    (A)

1 = 4a + 2b + c;  (B)

11 = 4a - 2b + c;  (C)

Mica sono dati solo "sti tre punti", se no il problema sarebbe stato indeterminato (per trovare l'equazione di una parabola dando solo punti ne servono cinque); qui dà pure l'orientamento dell'asse di simmetria ("del tipo y=ax²+bx+c") che è parallelo all'asse y; è per questo che di punti ne bastano tre, così si determinano i tre parametri che danno l'equazione della parabola non degenere: l'apertura "a != 0" e le coordinate del vertice V(w, h).
Dall'apertura si calcolano la lunghezza focale
* f = |VF| = |Vd| = 1/(4*|a|)
e le posizioni di fuoco e direttrice
* F(w, h + 1/(4*a))
* d ≡ y = h - 1/(4*a)
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La più conveniente forma dell'equazione è
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
che dev'essere vera per le coordinate dei tre punti dati
* per A(1, − 1): − 1 = h + a*(1 - w)^2
* per B(2, 1): 1 = h + a*(2 - w)^2
* per C(− 2, 11): 11 = h + a*(− 2 - w)^2
il sistema dei tre vincoli, che a colpo d'occhio sembra d'ottavo grado, poi in effetti ha una e una sola soluzione come puoi anche verificare da te sviluppando tutti i passaggi
* (− 1 = h + a*(1 - w)^2) & (1 = h + a*(2 - w)^2) & (11 = h + a*(− 2 - w)^2) ≡
≡ (a = 3/2) & (w = 5/6) & (h = - 25/24)
quindi
* Γ ≡ y = (3/2)*(x - 5/6)^2 - 25/24 ≡ y = (3/2)*x^2 - (5/2)*x
* F(5/6, - 7/8)
* d ≡ y = - 29/24