Equazione della circonferenza

@giorgiaborrelli

di nuovo. 

L'ultimo punto lo svolgi tu e poi mi farai sapere!

Parabola

y = a·x^2 + b·x + c

{- b/(2·a) = 3 (asse)

{1 = a·1^2 + b·1 + c

{5 = a·3^2 + b·3 + c

(le ultime: passaggio per i punti dati)

{b = - 6·a

{a + b + c = 1

{9·a + 3·b + c = 5

risolvo ed ottengo: [a = -1 ∧ b = 6 ∧ c = -4]

quindi:  y = - x^2 + 6·x - 4

Circonferenza

A(1,1)

B(3,5)

Punto medio: O(2,3)

raggio=r = √(1 + 4)

equazione cartesiana: (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5

equazione implicita: x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 8 = 0

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Determinazione di C (due punti si conoscono già: A e B!)

{x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 8 = 0

{y = - x^2 + 6·x - 4

Risolvo per sostituzione:

x^2 + (- x^2 + 6·x - 4)^2 - 4·x - 6·(- x^2 + 6·x - 4) + 8 = 0

x^4 - 12·x^3 + 51·x^2 - 88·x + 48 = 0

Si scompone in  (x - 1)·(x - 3)·(x - 4)^2 = 0

quindi:  x = 4(contata due volte)  ∨ x = 3 ∨ x = 1

Le ultime due radici sono le ascisse dei punti A e B.

Si riconosce quindi che nel punto C di ascissa x=4 i due luoghi geometrici hanno in comune la tangente.

Tale tangente si può ottenere con le formule di sdoppiamento: 

per la parabola (y + 4)/2 = - 4·x + 6·(x + 4)/2 - 4-----> y = 12 - 2·x

per la circonferenza 4·x + 4·y - 4·(x + 4)/2 - 6·(y + 4)/2 + 8 = 0

quindi si ha la stessa retta: 2·x + y - 12 = 0

Per l'ultimo punto ci pensi tu, vero?