Equazione con valore assoluto

|x^2 - 4x| = x

se x^2-4x >=0 , x(x-4) >=0 , x<=0 U x>=4, allora il modulo diventa  x(x-4)=x

se x^2-4x <0 , x(x-4) <0 , 0<x<4, allora  il modulo diventa      -x(x-4)=x

{x^-5x = 0    se  x<=0 U x>=4

U

{x^2-3x = 0     se    0<x<4

{x=0 o x=5    se  x<=0 U x>=4 --> accettabili entrambe

U

{x=0 o x=3     se    0<x<4  --> x=3 accettabile

La soluzione è l'unione dei due risultati: x=0, 3, 5

Due modi. 

1. Essendo $\sqrt(x^2) = |x| $ possiamo scriverla nella forma $ \sqrt(x^2-4x)^2 = x$ che puoi esercitarti a risolvere.
2. $ |x(x-4)| = x $

Prima osservazione a sinistra abbiamo un termine positivo, quindi per x < 0 non ci possono essere soluzioni.

Seconda osservazione x = 0 è una soluzione

Cerchiamo le altre soluzioni per x > 0.  

$ |x||x-4| = x $; essendo x positivo

$ x \cdot |x-4| = x $

$ |x-4| = 1 $

$ x-4 = \pm 1 $

Le altre due soluzioni sono 

$ x_1 = 3$

$ x_2 = 5$

Le tre soluzioni sono quindi $ x = 0 \; \lor \; x = 3 \; \lor \; x = 5$

Sicuramente x = 0 è una soluzione.

Se x^2 - 4x >= 0

( x <= 0 V x >= 4)

x^2 - 4x = x

x^2-5x = 0

x = 0 V x = 5

Vanno bene entrambe

Se invece

0 < x < 4

-x^2 + 4x = x

x^2 - 3x = 0

x = 0 V x = 3

Vanno bene entrambe

Soluzioni

0,3,5