Equazione con valore assoluto

ABS(x^2 + 12·x + 36) + ABS(- 6·x^2 - 35·x + 6) = 60

I moduli si liberano:

x^2 + 12·x + 36 ≥ 0 è sempre verificata, quindi il modulo è superfluo (si può togliere!)

(x^2 + 12·x + 36) + ABS(- 6·x^2 - 35·x + 6) = 60

- 6·x^2 - 35·x + 6 ≥ 0

se risulta: -6 ≤ x ≤ 1/6. Se l'argomento è negativo si libera il modulo cambiando il segno.

Quindi abbiamo due sistemi:

{(x^2 + 12·x + 36) + (- 6·x^2 - 35·x + 6) = 60

{-6 ≤ x ≤ 1/6

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{(x^2 + 12·x + 36) + (6·x^2 + 35·x - 6) = 60

{x < -6 ∨ x > 1/6

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Li risolvi e poi unisci le eventuali soluzioni trovate

{5·x^2 + 23·x + 18 = 0

{-6 ≤ x ≤ 1/6

1°SISTEMA

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{7·x^2 + 47·x - 30 = 0

{x < -6 ∨ x > 1/6

2°SISTEMA

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{x = - 18/5 ∨ x = -1

{-6 ≤ x ≤ 1/6

[x = - 18/5, x = -1] (accettabili entrambe)

1°SISTEMA

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{x = - √3049/14 - 47/14 ∨ x = √3049/14 - 47/14

{x < -6 ∨ x > 1/6

[x = - √3049/14 - 47/14, x = √3049/14 - 47/14] (accettabili entrambe)

2°SISTEMA

Quindi la soluzione dell'equazione di partenza è:

x = - √3049/14 - 47/14 ∨ x = √3049/14 - 47/14 ∨ x = - 18/5 ∨ x = -1

IL COME DIPENDE DA COSA TI SERVE.
Se ti servono i valori delle radici, allora si risolve così
http://www.wolframalpha.com/input?i=%7Cx%5E2--12*x--36%7C%3D60-%7C-6*x%5E2-35*x--6%7Cfor+x+real
Se invece ti serve imparare una procedura risolutiva, allora devi avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) oppure (a = + b) [unione]
c) |a| >= b ≡ (a <= - b) oppure (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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Esempio
* |x^2 + 12*x + 36| + |- 6*x^2 - 35*x + 6| = 60 ≡
≡ |x^2 + 12*x + 36| = 60 - |6*x^2 + 35*x - 6| ≡
≡ (x^2 + 12*x + 36 = |6*x^2 + 35*x - 6| - 60) oppure (x^2 + 12*x + 36 = 60 - |6*x^2 + 35*x - 6|) ≡
≡ (|6*x^2 + 35*x - 6| = x^2 + 12*x + 36 - 60) oppure (|6*x^2 + 35*x - 6| = 60 - (x^2 + 12*x + 36)) ≡
≡ (|6*x^2 + 35*x - 6| = x^2 + 12*x - 24) oppure (|6*x^2 + 35*x - 6| = - (x^2 + 12*x - 24)) ≡
≡ (6*x^2 + 35*x - 6 = - (x^2 + 12*x - 24)) oppure (6*x^2 + 35*x - 6 = x^2 + 12*x - 24) oppure (6*x^2 + 35*x - 6 = (x^2 + 12*x - 24)) oppure (6*x^2 + 35*x - 6 = - (x^2 + 12*x - 24)) ≡
≡ (7*x^2 + 47*x - 30 = 0) oppure (5*x^2 + 23*x + 18 = 0) oppure (5*x^2 + 23*x + 18 = 0) oppure (7*x^2 + 47*x - 30 = 0) ≡
≡ (7*x^2 + 47*x - 30 = 0) oppure (5*x^2 + 23*x + 18 = 0)
te la cavi da te, vero?